Applications affines, exercice
dans Géométrie
Bonjour, je suis en Licence 2 de mathématiques, et découvre la géométrie. Notre professeur avance très vite et j'ai encore du mal avec certaines notions. Pourriez-vous m'aider pour la résolution de l'exercice suivant.
On suppose que E est de dimension 3 et qu'il est rapporté à un repère cartésien (O, vect(e1), vect(e2), vect(e3)). On considère l'application f de E dans E définie analytiquement par :
x' = x + 6y +3z + 12
y' = -3x -8y -3z - 15
z' = 6x + 12y + 4z + 18
(a) Montrer que f est une transformation affine de E et préciser son application vectorielle associée f flèche.
Déterminer l'application réciproque de f.
(b) Déterminer l'ensemble Inv(f) des points fixes de f.
(c) Déterminer les sous-espaces propres de f flèche.
(d) Soit P le plan d'équation x + 2y + z = 0. Démontrer que tout plan parallèle à P est globalement invariant par f. Quelle est la restriction de f à un tel plan ? En déduire la nature géométrique de f.
Merci beaucoup.
On suppose que E est de dimension 3 et qu'il est rapporté à un repère cartésien (O, vect(e1), vect(e2), vect(e3)). On considère l'application f de E dans E définie analytiquement par :
x' = x + 6y +3z + 12
y' = -3x -8y -3z - 15
z' = 6x + 12y + 4z + 18
(a) Montrer que f est une transformation affine de E et préciser son application vectorielle associée f flèche.
Déterminer l'application réciproque de f.
(b) Déterminer l'ensemble Inv(f) des points fixes de f.
(c) Déterminer les sous-espaces propres de f flèche.
(d) Soit P le plan d'équation x + 2y + z = 0. Démontrer que tout plan parallèle à P est globalement invariant par f. Quelle est la restriction de f à un tel plan ? En déduire la nature géométrique de f.
Merci beaucoup.
Réponses
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Bonjour.
On peut effectivement t'aider, mais conformément aux règles du forum (A lire avant de poster) que tu as bien évidemment lues, c'est à toi de faire l'exercice. Qu'as-tu fait ?
Par exemple, la première question est une application immédiate de ton cours. Quelle est la définition d'une application affine ? Mets en œuvre (ou bien choisis une autre caractérisation si tu en as dans ton cours).
Bon travail personnel ! -
Pour la première question, tu peux revenir au programme de troisième où on distinguait les fonctions affines et linéaires.
Eh bien là, c'est presque pareil.
PS, j'obtiens fréquemment ce genre de message :Erreur 503
Service Unavailable
XID: 667344417
Varnish cache serverAlgebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Justement, je n'ai pas de définition dans mon cours... Est-ce suffisant de la mettre sous forme matricielle ?
Du coup j'obtiens la matrice [f flèche] dans la base (vect(e1),vect(e2),vect(e3)).
Mais je ne sais pas comment trouver f fleche, l'exprimer comme une fonction...
Auriez-vous des conseils ?
Est-ce que f flèche (vect(x), vect(y), vect(z)) = (vect(x'), vect(y'), vect(z')), avec
vect(x') = vect(x) + 6* vect(y) + 3* vect(z)
vect(y') = -3 * vect(x) - 8* vect(y) - 3* vect(z)
vect(z') = 6*vect(x) + 12* vect(y) + 6* vect(z) ? -
Bonsoir
Pourquoi écrire des vect(machinchose) qui ne veulent rien dire!
Par définition et c'est du cours!!:
$\vec f(x,y,z)=(x',y',z')$ avec:
$x'=x + 6y +3z$
$y' = -3x -8y -3z$
$z' = 6x + 12y + 4z$
Que c'est dur! Vite un doliprane! Il suffisait d'effacer les termes constants!
Mais c'était sans doute trop simple pour qu'on puisse le retenir!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
TiffanieAde a écrit:Justement, je n'ai pas de définition dans mon cours.
-
Merci tout d'abord de vos réponses.
Je ne comprends pas pourquoi on ne met pas de "flèches". Car dans nos exemples du cours on a toujours f flèche qui est de E fleche dans E flèche, et qui à des vecteurs associe d'autre vecteurs...
Pourquoi n'en met-on pas ici ? J'ai beau rechercher dans mon cours je ne comprends pas.
Merci de votre patience.
Cependant j'ai réussi à trouver Inv(f) et la réciproque de f. -
C’est peut-être une question de notation.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
On mets éventuellement des flèches sur les vecteurs, pas sur leurs coordonnées. Et même de nombreux auteurs n'en mettent pas sur les vecteurs (qui peuvent aussi s'interpréter comme des points). Je te rappelle que si dans un repère $(0,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3})$, $M$ a pour coordonnées $(x,y,z)$, c'est que
$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}$
donc que $\overrightarrow{OM}$ a pour composantes $x, y$ et $z$ dans la base $(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3})$.
Donc, une base une fois choisie, les vecteurs et les points sont quasiment les mêmes. En fait, ce qui les "confond" ne dépend même pas de la base, il suffit de choisir l'origine du repère.
Cordialement.
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