Applications affines, exercice
dans Géométrie
Bonjour, je suis en Licence 2 de mathématiques, et découvre la géométrie. Notre professeur avance très vite et j'ai encore du mal avec certaines notions. Pourriez-vous m'aider pour la résolution de l'exercice suivant.
On suppose que E est de dimension 3 et qu'il est rapporté à un repère cartésien (O, vect(e1), vect(e2), vect(e3)). On considère l'application f de E dans E définie analytiquement par :
x' = x + 6y +3z + 12
y' = -3x -8y -3z - 15
z' = 6x + 12y + 4z + 18
(a) Montrer que f est une transformation affine de E et préciser son application vectorielle associée f flèche.
Déterminer l'application réciproque de f.
(b) Déterminer l'ensemble Inv(f) des points fixes de f.
(c) Déterminer les sous-espaces propres de f flèche.
(d) Soit P le plan d'équation x + 2y + z = 0. Démontrer que tout plan parallèle à P est globalement invariant par f. Quelle est la restriction de f à un tel plan ? En déduire la nature géométrique de f.
Merci beaucoup.
On suppose que E est de dimension 3 et qu'il est rapporté à un repère cartésien (O, vect(e1), vect(e2), vect(e3)). On considère l'application f de E dans E définie analytiquement par :
x' = x + 6y +3z + 12
y' = -3x -8y -3z - 15
z' = 6x + 12y + 4z + 18
(a) Montrer que f est une transformation affine de E et préciser son application vectorielle associée f flèche.
Déterminer l'application réciproque de f.
(b) Déterminer l'ensemble Inv(f) des points fixes de f.
(c) Déterminer les sous-espaces propres de f flèche.
(d) Soit P le plan d'équation x + 2y + z = 0. Démontrer que tout plan parallèle à P est globalement invariant par f. Quelle est la restriction de f à un tel plan ? En déduire la nature géométrique de f.
Merci beaucoup.
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Réponses
On peut effectivement t'aider, mais conformément aux règles du forum (A lire avant de poster) que tu as bien évidemment lues, c'est à toi de faire l'exercice. Qu'as-tu fait ?
Par exemple, la première question est une application immédiate de ton cours. Quelle est la définition d'une application affine ? Mets en œuvre (ou bien choisis une autre caractérisation si tu en as dans ton cours).
Bon travail personnel !
Eh bien là, c'est presque pareil.
PS, j'obtiens fréquemment ce genre de message :
-- Schnoebelen, Philippe
Du coup j'obtiens la matrice [f flèche] dans la base (vect(e1),vect(e2),vect(e3)).
Mais je ne sais pas comment trouver f fleche, l'exprimer comme une fonction...
Auriez-vous des conseils ?
Est-ce que f flèche (vect(x), vect(y), vect(z)) = (vect(x'), vect(y'), vect(z')), avec
vect(x') = vect(x) + 6* vect(y) + 3* vect(z)
vect(y') = -3 * vect(x) - 8* vect(y) - 3* vect(z)
vect(z') = 6*vect(x) + 12* vect(y) + 6* vect(z) ?
Pourquoi écrire des vect(machinchose) qui ne veulent rien dire!
Par définition et c'est du cours!!:
$\vec f(x,y,z)=(x',y',z')$ avec:
$x'=x + 6y +3z$
$y' = -3x -8y -3z$
$z' = 6x + 12y + 4z$
Que c'est dur! Vite un doliprane! Il suffisait d'effacer les termes constants!
Mais c'était sans doute trop simple pour qu'on puisse le retenir!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je ne comprends pas pourquoi on ne met pas de "flèches". Car dans nos exemples du cours on a toujours f flèche qui est de E fleche dans E flèche, et qui à des vecteurs associe d'autre vecteurs...
Pourquoi n'en met-on pas ici ? J'ai beau rechercher dans mon cours je ne comprends pas.
Merci de votre patience.
Cependant j'ai réussi à trouver Inv(f) et la réciproque de f.
-- Schnoebelen, Philippe
$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}$
donc que $\overrightarrow{OM}$ a pour composantes $x, y$ et $z$ dans la base $(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3})$.
Donc, une base une fois choisie, les vecteurs et les points sont quasiment les mêmes. En fait, ce qui les "confond" ne dépend même pas de la base, il suffit de choisir l'origine du repère.
Cordialement.