Alignement 2019-1
Bonjour,
Je propose ce nouvel exercice.
Soit $ABC$ un triangle, $H$ son orthocentre, $O$ le centre de son cercle circonscrit.
Soit $D$ et $E$ les pieds des hauteurs issues respectivement de $A$ et $B$.
Les droites $(OD)$ et $(BE)$ sont sécantes en le point $K$.
Les droites $(OE)$ et $(AD)$ sont sécantes en le point $L.$
Soit $X$ le second point d'intersection entre les cercles circonscrits aux triangles $HKD$ et $HLE$, et soit $M$ le milieu de $[AB]$.
Montrer que les points $K, L, M$ sont alignés si, et seulement si $X$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $EOD.$
Source :Serbian Mathematical Olympiad.
Je propose ce nouvel exercice.
Soit $ABC$ un triangle, $H$ son orthocentre, $O$ le centre de son cercle circonscrit.
Soit $D$ et $E$ les pieds des hauteurs issues respectivement de $A$ et $B$.
Les droites $(OD)$ et $(BE)$ sont sécantes en le point $K$.
Les droites $(OE)$ et $(AD)$ sont sécantes en le point $L.$
Soit $X$ le second point d'intersection entre les cercles circonscrits aux triangles $HKD$ et $HLE$, et soit $M$ le milieu de $[AB]$.
Montrer que les points $K, L, M$ sont alignés si, et seulement si $X$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $EOD.$
Source :Serbian Mathematical Olympiad.
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Réponses
Cordialement,
Rescassol
-- Schnoebelen, Philippe
C'est du Matlab, traduisible en Python facilement.
Cordialement,
Rescassol
Comme je doute fortement que les jeunes candidats serbes disposaient d'un ordinateur, de Matlab et des brillantes procédures de Rescassol, essayons autre chose.
Si $X$ est le centre du cercle $EOD$, on a
$\left( KX,DE\right) =\left( KX,KD\right) +\left( DK,DE\right) =\left( HX,HL\right) +\left( DO,DE\right) =\left( EX,EO\right) +\left( DO,DE\right) =\dfrac{\pi }{2}$.
Ainsi $K$ est sur la médiatrice de $\left[ DE\right] $, c'est-à-dire sur la droite $MX$; de même, $L$ est sur la droite $MX$ et $K,L,M$ sont alignés.
Je passe la main pour la réciproque.
Amicalement. Poulbot
Je précise que, quand la condition est vérifiée, la droite joignant $K,L,M$ est la médiatrice de $[OH]$ et passe bien sûr par $X$.
Cordialement,
Rescassol