Alignement 2019-1

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syms a b c; % Sommets de ABC

syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Truc de Morley:
bB=1/b; % A,B,C sur le cercle unité
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;

s1=a+b+c;  % Fonctions symétriques
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

syms s1B s2B s3B

s1B=s2/s3; % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-------------------------------------------------------------------------

% Pieds D et E de la A-hauteur et de la B-hauteur

d=(s1*a-b*c)/(2*a);
e=(s1*b-c*a)/(2*b);

dB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB);
eB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB);

% Point K d'intersection des droites (OD) et (BE)

[k kB]=IntersectionDeuxDroites(dB,-d,0,b,-s3,c*a-b^2);

k=Factor(k) % k=( b^2-a*c)*(a*(b+c)-b*c+a^2)/((a-c)*(a^2+b^2))

% Point L d'intersection des droites (OE) et (AD)

[l lB]=IntersectionDeuxDroites(eB,-e,0,a,-s3,b*c-a^2);

l=Factor(l) % l=(a^2-b*c)*(a*b-a*c+b*c+b^2)/((b-c)*(a^2+b^2))

% Centres et carrés des rayons des cercles circonscrits aux triangles HKD et HLE

[o1 o1B R12]=CercleTroisPoints(s1,k,d,s1B,kB,dB);

[o2 o2B R22]=CercleTroisPoints(s1,l,e,s1B,lB,eB);

[pax qax rax]=AxeRadical(o1,o1B,R12,o2,o2B,R22);

% Point d'intersection de ces deux cercles autre que H(s1)

syms x xB

xB=-(pax*x+rax)/qax;

Nulx=Factor((x-o1)*(xB-o1B)-R12)

% Donc:

x=-(a*b+a*c-b*c+a^2)*(a*b+b*c-a*c+b^2)/(2*c*(a^2+b^2));
xB=-(aB*bB+aB*cB-bB*cB+aB^2)*(aB*bB+bB*cB-aB*cB+bB^2)/(2*cB*(aB^2+bB^2));

% Milieu M de [AB]

m=(a+b)/2;
mB=(aB+bB)/2;

%-------------------------------------------------------------------------

% Condition d'alignement de K,L,M

Mat=[k kB 1; l lB 1; m mB 1];

NulKLM=Factor(det(Mat)) % On trouve (a+b)*(a*b+c^2) + 2*s3 = 0

% Centre O_3 du cercle circonscrit au triangle EOD

[o3 o3B]=CentreCercleCirconscrit(0,d,e,0,dB,eB);

% condition pour que X=O_3

NulO3=Factor(o3-x) % On trouve la même condition