Topologie de Zariski-Système de Watt
Bonsoir
Je suis en train d'étudier le système de Watt (c'est un peu long à écrire donc je vous mets le lien vers l'explication) : https://www.math.u-bordeaux.fr/~kbelabas/teach/Agreg/Systeme_de_Watt.pdf
(Pour ma question il n'y a besoin que de lire la partie 1, sur l'explication du système).
J'aimerais montrer que la courbe décrite par le point P est une variété algébrique irréductible. Pour cela, notons $X$ le cercle de centre $C$ et de rayon 2.
On voit que la courbe est paramétrée par $X$ : lorsque $B$ varie sur ce cercle, le système tout entier (et le point $P$ en particulier) varie, et ceci donne une application continue $f$ de $X$ vers la courbe $C$, $(a2,b2) \mapsto (x,y)$
Et donc si la courbe était réductible, alors le cercle aussi,ce qui est faux et donc ce qui conclut la preuve.
Seulement je ne comprends pas pourquoi notre application $f$ est forcément continue (pour la topologie de Zariski du coup), car on a $x=(a1+a2)/2$ et $y=(b1+b2)/2$ et donc pour qu'elle soit continue il suffit que $a1$ et $b1$ dépendent continûment de $a2$ et $b2$, mais je ne vois pas pourquoi c'est le cas...
Merci de votre aide !
Je suis en train d'étudier le système de Watt (c'est un peu long à écrire donc je vous mets le lien vers l'explication) : https://www.math.u-bordeaux.fr/~kbelabas/teach/Agreg/Systeme_de_Watt.pdf
(Pour ma question il n'y a besoin que de lire la partie 1, sur l'explication du système).
J'aimerais montrer que la courbe décrite par le point P est une variété algébrique irréductible. Pour cela, notons $X$ le cercle de centre $C$ et de rayon 2.
On voit que la courbe est paramétrée par $X$ : lorsque $B$ varie sur ce cercle, le système tout entier (et le point $P$ en particulier) varie, et ceci donne une application continue $f$ de $X$ vers la courbe $C$, $(a2,b2) \mapsto (x,y)$
Et donc si la courbe était réductible, alors le cercle aussi,ce qui est faux et donc ce qui conclut la preuve.
Seulement je ne comprends pas pourquoi notre application $f$ est forcément continue (pour la topologie de Zariski du coup), car on a $x=(a1+a2)/2$ et $y=(b1+b2)/2$ et donc pour qu'elle soit continue il suffit que $a1$ et $b1$ dépendent continûment de $a2$ et $b2$, mais je ne vois pas pourquoi c'est le cas...
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