Polytope

Bonsoir
Soit $K$ un polytope de l'espace euclidien $X$ à $n$ dimensions usuel.
Soient $A$ un point intérieur à $K$ et $M$ un point de la frontière $S$ de $K$ tel que la distance de $A$ à $S$ soit égale à $AM$.
Montrer qu'il existe une facette (face de dimension $n-1$) $F$ de $K$ telle que $M$ appartienne à l'intérieur relatif de $F$ et que $M$ soit la projection orthogonale de $A$ sur l'hyperplan affine de $X$ engendré par $F$.
Il me semble que ce résultat est en tous cas vrai en dimension $2$.
Supposons le faux et soient $K$, $A$, $M$ comme ci-dessus fournissant un contre-exemple.
Alors $M$ est un sommet de $K$, notons $MB$ et $MC$ les deux arêtes contenant $M$. Quitte à échanger $B$ et $C$, on peut supposer que l'angle $\widehat{BMA}$ est strictement aigu.
En outre, on peut évidemment remplacer $A$ par n'importe quel point $A'$ du segment $AM$ autre que $M$, ce qui fait que l'on peut supposer que $A$ est aussi proche que l'on veut de $M$. Mais alors, la projection orthogonale $I$ de $A$ sur la droite $MB$ appartient au segment $MB$ privé de $B$ et $M$. Dans ces conditions, $AI < AM$, ce qui contredit le choix de $M$.
Comment généraliser cet argument (en supposant qu'il soit juste) lorsque $n$ vaut $3$ ou plus?
Amicalement
[small]p[/small]appus