24cell

Contrairement au 5-simplexe ou au tesseract, il n'y a pas d'analogue de ce polytope
dans les dimensions autres que 4. D'ou la fascination qu'il exerce sur moi et que
j'aimerais partager.

En regardant la distance à l'origine des points à coordonnées entières de $\mathbb{R}^4$
on remarque qu'il y en a 24 à distance $\sqrt{2}$ et 24 à distance 2 . Les coordonnées des
premiers sont les permutations de $(\pm 1,\pm 1,0,0)$, pour les seconds $(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$
donne 16 points et les permutations de $(\pm 2,0,0,0)$ huit de plus. Il y a de nombreuses rotations
(dont une $R$ à trouver...) qui rendent le premier nuage (24A) homothétique du second (24B).

Le groupe des isométries directes de 24A est aussi celui de 24B (i.e. ils sont constitués
des mêmes isométries exactement). En jouant sur 24A, 24B et $R$ vous pouvez montrer
qu'il est transitif sur les points et probablement sur les 96 facettes triangulaires de dimension 2 .

Parmi les petites explorations possibles :
$-$ Les 24 sommets se partitionnent en $3\times 8$, chaque sous-ensemble étant celui des sommets
d'un autre polytope régulier analogue à l'octaèdre.
$-$ On peut aussi choisir 16 sommets formant un tesseract. Les 8 qui restent...

Rappelons qu'en centrant une sphère $\mathbb{S}_3$ de rayon bien choisi en chaque sommet de 24A
on initie l'empilement régulier le plus dense de $\mathbb{R}^4$.