Un trapèze ?

Bonsoir
La figure de Siméon Urbain est très riche et aurait fait la joie de nos aïeux.
Sur cette figure, j'ai construit le point de contact $m$ de la droite $MM'$ avec son enveloppe.
On construit d'abord le point $I=AM\cap A'M'$, c'est le $\mathrm{C.I.R}$ ou centre instantané de rotation. Il a évidemment disparu avec la théorie des mouvements plan sur plan.
On ne le regrettera pas.
Aujourd'hui on manifeste plutôt pour le $\mathrm{R.I.C}$, (rotation instantaneous center?), y en a qui sont jamais contents!
En tout cas le point de contact $m$ est la projection orthogonale du point $I$ sur la droite $MM'$.
Le lieu de $I$ est l'hyperbole équilatère de centre $O$ et de foyers $A$ et $A'$.
C’est la base du mouvement plan sur plan!
Mais quelle est la roulante c’est à dire le lieu du C.I.R $I$ dans le plan mobile?
Réponse: C'est l'hyperbole équilatère de foyers $M$ et $M'$ et de centre le milieu $\Omega$ de $MM'$.
Les deux hyperboles équilatères, (base et roulante), sont symétriques par rapport à la médiatrice commune des segments $AM'$ et $A'M$, tangente en $I$ à ces deux hyperboles équilatères car le quadrilatère $AM'A'M$ est un trapèze isocèle.
Il est clair qu'aujourd'hui on peut oublier cette figure et dormir plus que tranquille sur ses deux oreilles!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Encore Concours général 1989 :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1631242,1632422
Les quatre points forment ce que l'on appelait au temps de Lebossé-Hémery un quadrangle harmonique, qui est une division harmonique dans le plan complexe.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Mon cher SiméonUrbain
As-tu entendu parler des identités remarquables?
Par exemple:
$$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$$
Tu ne m'as toujours pas dit ce que tu savais de l'application des nombres complexes à la géométrie?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Soland
Non seulement ce birapport $(-1,1,z,z^{-1})$ est réel mais il vaut $-1$ c'est pourquoi on parle de quadrangle harmonique.
Ce problème est effectivement très joli, il resterait à savoir où Siméon Urbain l'a déniché.
J'ai essayé de trouver de nouvelles questions mais on peut en imaginer d'autres!
Pour le moment, on en est à cette question de parallélisme:
$\dfrac{z+1}{z'-1}=\dfrac{z+1}{z^{-1}-1}=\dfrac{z(z+1)}{1-z}$
Pour montrer que cette quantité est réelle, on est amené à étudier la différence:
$\dfrac{z(z+1)}{1-z}-\dfrac{\overline z(\overline z+1)}{1-\overline z}=\dfrac{z(z+1)(1-\overline z)-\overline z(\overline z+1)(1-z)}{(1-z)(1-\overline z)}=\dfrac{(\overline z-z)(z\overline z-z-\overline z-1)}{(1-z)(1-\overline z)}$
et comme $M(z)\in \gamma_+$, $z\overline z-z-\overline z-1=0$
Par suite:
$\dfrac{z(z+1)}{1-z}=\dfrac{\overline z(\overline z+1)}{1-\overline z}\in \mathbb R$
A vrai dire avec cette preuve, on montre seulement que le quadrilatère $AM'A'M$ est un trapèze, ce qui était la question demandée mais comme ce quadrangle est harmonique, il est inscrit dans un cercle et tout trapèze inscrit dans un cercle est isocèle.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Un trapèze est harmonique si le produit des bases est égal au carré d'un des deux autres côtés, sauf erreur.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour
Il y a plus qu'une relation entre les côtés, il y a un problème de construction.
Sur ma figure, je me suis donné le cercle $\Gamma$ et un diamètre $L$ puis deux points $A$ et $M'$ de $\Gamma$ symétriques par rapport à $L$.
J'ai alors construit tous les quadrangles harmoniques $(A,B,M,M')=-1$ tels que $B$ et $M$ soient symétriques par rapport à $L$.
J'en ai trouvé $2$!!
Comment ai-je fait?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
En fait c'est la construction circulaire que j'ai trouvée en premier.
J'ai évidemment circonscrit le pauvre Morley qui n'en pouvait mais au seul cercle visible de ma figure, identifiant ce faisant l'axe $L$ avec la droite réelle, la seule droite qui nous reste encore très provisoirement, c'est le superpied!
On doit avoir $(a,b,m',m)=(a,b,\frac 1a,\frac 1b)=-1$
Ceci se traduit par $\dfrac{\dfrac 1a-a}{\dfrac 1a-b}:\dfrac{\dfrac 1b-a}{\dfrac 1b-b}=\dfrac{(1-a^2)(1-b^2)}{(1-ab)^2}=-1$
et finalement:
$$(1-a^2)(1-b^2)+(1-ab)^2=0$$
Comment ai-je continué?
Amicalement

Corentin Hémery 1908-1992
https://www.gabay-editeur.com/epages/300555.sf/fr_FR/?ObjectPath=/Shops/300555/Categories/AUTEURS/H

[Merci, je n'avais pas trouvé sur internet. AD]

Bonjour à tous
J'ai fait la grasse matinée bien malgré moi et je m'attendais à mon réveil à voir un petit quelque chose comme par exemple une construction différente des miennes mais non la géométrie n'inspire plus personne et pourtant la relation simple de Rescassol entraîne une construction, il suffit de tirer sur la ficelle. Elle attendra donc un peu à moins que quelqu'un ne se réveille!
Je poursuis mes vaticinations autour de l'équation du second degré:
on la résout et dire que je dois faire ces tristes calculs à mon âge plus que canonique:
$b=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-(2a^2-1)(2-a^2)}}{2a^2-1}=\dfrac{a\pm\sqrt{2(a^2-1)^2}}{2a^2-1}=\dfrac{a\pm\sqrt{2}(a^2-1)}{2a^2-1}$
Je suppose que la plupart des élèves $\lambda$ sont capables d'arriver jusque là et pour ma part je leur mettrais la note de $\frac{14}{20}$ mais les très bons élèves se doivent d'aller beaucoup beaucoup plus loin!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonne Nuit à tous
$b$ se présente comme le quotient de deux polynômes du second degré en $a$.
Eh bien les très bons élèves les factorisent au cas où, on ne sait jamais!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Poulbot
Comme on sait que l'enseignement des coniques se limite aujourd'hui plus ou moins à leurs classifications affine et euclidienne, cette construction est devenue incompréhensible pour la plupart de nos étudiants $\lambda$.
Venons en maintenant à la factorisation de nos très bons lycéens de Première, ils existent, je les ai rencontrés!
$N_+=a+\sqrt2(a^2-1)=\sqrt 2(a+\sqrt 2)(a-\dfrac 1{\sqrt 2})$
$N_-=a-\sqrt2(a^2-1)=-\sqrt 2(a-\sqrt 2)(a+\dfrac 1{\sqrt 2})$
$D=2a^2-1=2(a+\dfrac 1{\sqrt 2})(a-\dfrac 1{\sqrt 2})$
Par suite les deux solutions:
$$b_1=\dfrac{N_+}D=\dfrac{a+\sqrt 2}{a\sqrt 2+1}=\varphi(a)$$
$$b_2=\dfrac{N_-}D=-\dfrac{a-\sqrt 2}{a\sqrt 2-1}=\varphi^{-1}(a)$$
Et chtoc!, on tombe sur deux fonctions homographiques et ceux qui ont des yeux de lynx, (cet ensemble n'est pas vide), remarquent aussitôt que la seconde est l'inverse de la première.
Bien sûr, il y a quelques années encore on savait qu'on rentrait ainsi dans le Royaume Perdu de la Géométrie Circulaire.
Les calculs sont terminés mais la Géométrie continue.
Imaginez vous transportés cent ans en arrière.
Vous planchez devant le jury d'oral de l'agrégation et vous êtes au tableau noir avec sous les yeux le cercle $\Gamma$, le diamètre $L$ et un point $A\in \Gamma$ et un membre du jury, la gueule plus ou moins cassée, Julia peut-être, vous demande l'air furibond: construisez moi le point $B$ (avec la règle et le compas et si possible à la règle seule).
Vous devez vous exécuter dans les délais les plus brefs sinon vous vous retrouvez à Biribi!
Que faites vous?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'ai tracé la construction de Poulbot en sus de la mienne, toujours aussi génial que d'habitude!
Sa construction avait l'avantage sur la mienne d'être compréhensible par un bachelier d'il y a cent ans mais comme la théorie des pôles et polaires dans le cercle a disparu depuis belle lurette, nos agrégatifs actuels sont toujours aussi quinauds qu'avant!
On remarque finement que la construction de Poulbot appartient à la Géométrie Circulaire!
Cette construction aurait pu satisfaire notre gueule cassée mais elle n'est guère naturelle.
On a une fonction homographique: $b=\varphi(a)$ et il d'agit de construire le point $B$ d'affixe $b$

Bonsoir
La construction projective provient du fait que la restriction de $\varphi$ à $\Gamma$ induit sur $\Gamma$ une homographie pour sa structure de conique projective.
J'ai expliqué ce phénomène des dizaines de fois ici même.
L'axe d'homographie est la droite $PQ$ qui joint les points fixes et d'après le défunt cours, les droites $AS(=\varphi(R))$ et $RB(=\varphi(A))$ se coupent sur l'axe d'homographie, ce qui donne la construction projective de $B$.
R.I.P
Amicalement
[small]p[/small]appus