Wantzel, constructibilité règle et compas

Bonjour gerard0
Tout d'abord, merci pour votre réponse, votre éclairage.

Je me dois de préciser de ce que j'ai compris quant à la problématique liée aux constructions à la règle et au compas.
Certes, il s'agit d'utiliser uniquement les deux instruments "historiques", soit une règle non graduée et un compas "basique" lesquels sont assujettis à tracer géométriquement des droites et des cercles, et bien entendu au sens mathématique on va utiliser uniquement des droites et des cercles, les équations associées bien connues (pour peu que l'on utilise un repère cartésien orthonormé, ce que l'on présuppose).

À ce titre, j'ai cherché à me renseigner, entre autres j'ai lu avec attention le livre de Jean-Claude Carréga qui à mes yeux repose sur l'hypothèse de P.L. Wantzel. Néanmoins, je n'ai toujours pas compris pourquoi le problème posé entre autres "la quadrature du cercle" le plus connu, le plus évoqué, repose sur l'affirmation qu'il s'agit de la résolution d'un système de n équations au plus du second degré. Les deux outils "élémentaires" donnés, certes nous donnent des droites et des cercles, mais rien n'indique que l'on doit s'appuyer uniquement sur ces figures géométriques. Même si d'autres courbes composées de points présupposés inconnus, je n'ai pas perçu dans les problèmes cette limitation.

Partir uniquement des droites et des cercles issus de construction(s) géométrique(s) c'est ne pas prendre en compte d'autres "informations" en l’occurrence de courbes inconnues (au sens tous les points ne sont "directement" constructibles), je m'en explique un peu plus avant.
Supposons une courbe transcendante telle l'exponentielle exprimée par y = exp*(x*ln(A)); soit y est fonction d'une puissance de x de base A. Rien n'empêche à priori d'obtenir des points constructibles dans cette courbe et là où je souhaite en venir c'est qu'il y a des droites associées à des tangentes dont on peut connaître le coefficient directeur algébriquement et constructible. À partir de l'information contenue dans la droite en tant que tangente à une courbe non constructible point par point... Je me demande quelle serait la conclusion de l'hypothèse initiale en rajoutant cette "considération".

Je ne suis pas ici pour provoquer mais pour comprendre.
Cordialement.

Bonjour à tous,

Tout d'abord, merci pour vos réponses.

De ce que je perçois, je me demande si on évoque le même problème, à savoir, entre celui des nombres constructibles à la règle et au compas lequel est décliné par P.L. Wantzel, et celui de façon plus général affiché nos Géomètres des Anciens Temps...

P.L. Wantzel explicite dans son article la base de son raisonnement, que la solution du problème s'articule sur la résolution d'un système de n équations du second degré, nonobstant sa dernière phrase dans le premier paragraphe de son article "Nous traiterons seulement ici le cas où l'équation du problème est algébrique."

Dès lors, si on ne sort pas du cadre de la résolution d'un système d'équations du second degré, j'en conviens, c'est peine perdue.
D'où mon interrogation en positionnant, si j'ose me le permettre, le problème d'une autre façon, d'un autre point de vue, quant à l'approche des constructions géométriques à la règle et au compas.

Je vais continuer à creuser mon hypothèse, "mon étude", ayant quelques pistes en cours, je ne manquerai pas de vous en faire part dès lors que ma réflexion sera suffisamment aboutie.

Encore merci pour vos remarques.

Bonjour,

Constatant que le sujet que j'ai initié a suscité vos réactions, je me dois de préciser ma "pensée", de vous présenter une démarche que justement que je n'ai pas vu par ailleurs, tel est l'objet de mon questionnement sur ce fil de discussion.

Je conviens que le problème des nombres constructibles à la règle et au compas peut être étendu en s'appuyant sur d'autres "artifices", tels des outils pour tracer des coniques, une ou des courbes présupposées construites point par point à l'instar de la cissoïde Dioclès... mais mon propos est le suivant :
On conçoit que si l'on utilise une, des courbes complémentaires à un ensemble de droites, de cercles, la nature du problème est d'un autre ordre.
Ce que je souhaite mettre en avant, c'est qu'une droite n'est pas seulement une droite pour elle même, typiquement son équation générale y = ax + b peut aussi être représentative d'une tangente à une courbe, et c'est là la nuance, pas forcément tracée point par point.

La fonction exponentielle n'est pas définissable point par point à la règle et au compas, pour autant on peut obtenir une tangente dont le coefficient directeur est algébrique, constructible relativement à un point de cette courbe sans que toutes les coordonnées du point à la tangente soient algébriques.

Un exemple simple : La fonction y = f(x) = exp(x) et sa dérivée a = f'(x) = exp(x); je choisis le point tel que x = ln(3) certes nombre transcendant donc de fait à priori non constructible, dans ce cas y = a = 3. Ici le coefficient directeur de la tangente est constructible mais bien entendu, on ne peut pas le positionner sur la courbe, au mieux on pourra en tracer des droites parallèles.

La démarche proposée consiste à considérer une courbe ou des courbes non tracées point par point, de prime abord inconnues, mais relevant d'un système, d'une construction qui s'appuie sur, outre les équations de droites, de cercles, mais aussi sur des droites vues comme des tangentes à des courbes de fait présupposées inconnues.

En espérant avoir été plus clair dans mes explications quant à ma proposition du positionnement du problème.

Bien cordialement