Projection d'une surface

CQG · February 2019

Bonjour

Je considère les surfaces d'équations $x^2+y^2+xy=1$ et $y^2+z^2+yz=1$ et leur intersection $\Gamma$.

Cette intersection (si je ne me trompe pas, en faisant la différence) est la réunion de deux ellipses situées respectivement dans le plan $x-z=0$ et $x+y+z=0$.

Je cherche la projection orthogonale de $\Gamma$ sur le plan $(xOz)$.

J'ai réécris les mêmes systèmes d'équations que pour comprendre cette intersection en disant que $H(x,0,z)$ est le projeté orthogonal d'un point de $\mathscr{C}$ sur $xOz$ si et seulement s'il existe $y_0\in\R$ tel que :
\begin{align*}
&\left\{
\begin{array}{rcl}{}
x^2+y_0^2+xy_0&=&1\\
x&=&z\\
\end{array}
\right.\text{ ou }
\left\{
\begin{array}{rcl}{}
x^2+y_0^2+xy_0&=&1\\
y_0&=&-(x+z)\\
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{rcl}{}
x^2+y_0^2+xy_0&=&1\\
x&=&z\\
\end{array}
\right.\text{ ou }
\left\{
\begin{array}{rcl}{}
x^2+xz+z^2&=&1\\
y_0&=&-(x+z)\\
\end{array}
\right.\\
\end{align*}

Ensuite, je fais $y_0=0$ dans le second système et j'obtiens l'équation d'une ellipse dans le plan $xOz$. Est-ce correct ?

Pour le premier système, que fait-on ?

Merci

pappus · February 2019

Mon cher CQG
Quand tu as une courbe définie par les équations (algébriques):
$f(x,y,z)=0$ et $g(x,y,z)=0$
sa projection sur le plan $xOy$ s'obtient en éliminant la variable $z$ entre ces deux équations.
Pour ton premier système la projection sur le plan $xOy$ a donc pour équation:
$x^2+xy+y^2-1=0$
On avait donc pas grand mal à éliminer $z$ puisque c'était déjà fait!
Amicalement
[small]p[/small]appus

CQG · February 2019

En effet, et sur xOz (c'était ma question initiale mais pour xOy je suis d'accord!)?

Merci.

pappus · February 2019

Mon cher CQG
Excuse moi, j'avais cru lire projection sur le plan $xOy$ mais il fallait lire $xOz$.
Heureusement le principe reste le même, c'est une question d'élimination et ici c'est la variable $y$ qu'il faut éliminer!
Donc dans ton premier système, la variable $y$ est elle aussi éliminée sans grosse fatigue!!
La projection sur le plan $xOz$ est contenue dans la droite $x-z=y=0$, en fait c'est un segment de cette droite.
Par contre ta deuxième projection me semble erronée puisque l'équation du plan $xOz$ me semble être $y=0$:
Ce serait plutôt: $x^2+xz+z^2-1=y=0$
Pourquoi tu t'embrouilles avec tes $y_0$, alors que c'est un simple problème d'élimination (équation d'un cylindre).
Amicalement
[small]p[/small]appus

CQG · February 2019

J'ai l'impression que nous sommes d'accord pour la deuxième projection ? (je ne vois pas de différence entre mon système et le tien lorsque j'écris $y_0=0$)

J'écris $y_0$ pour comprendre cette histoire "d'élimination" qui ne me parait pas intuitive.

Un petit coup de main supplémentaire pour le premier système serait vraiment parfait, je ne suis pas très au point là-dessus !

Merci !

GaBuZoMeu · February 2019

Ben c'est simple, la projection de la deuxième ellipse est contenue dans la droite $z=x$, et c'est le segment de cette droite formé des points $(x,x)$ tels que l'équation du second degré $y^2+xy +x^2-1=0$ ait une solution réelle en $y$, c.-à-d. tels que $x^2-4(x^2-1)\geq 0$, c.-à-d. encore tels que $|x|\leq \dfrac2{\sqrt3}$.