Équation d'une surface de révolution

Bonjour, je voudrais déterminer une équation cartésienne de la surface $\mathscr{S}$ engendrée par la rotation autour de l'axe $(Oz)$ de la courbe $\mathscr{C}$ : $$
\left\{
\begin{array}{rcl}{}
x^2-y^2-4x+2&=&0\\
x+z&=&1
\end{array}
\right.

$$ J'ai noté que l'origine $O(0,0,0)$ appartient à l'axe de la révolution.

Soit $M(x,y,z)\in\R^3$.
Ce point $M$ appartient à $\mathscr{S}$ si et seulement s'il existe $M_0\in\Gamma$ tel que : $$

||\overrightarrow{OM_0}||=||\overrightarrow{OM}||\text{ et } M\in \mathscr{P}_k\quad (\ast),

$$ où $\mathscr{P}_k : z=k$ est le plan orthogonal à $(Oz)$ contenant $M_0 (x_0,y_0,k)$.
Les coordonnées de $M_0$ vérifient donc :
\begin{align*}
&\left\{
\begin{array}{rcl}{}
x_0^2-y_0^2-4x_0+2&=&0\\
x_0&=&1-k
\end{array}
\right.\\
\Longleftrightarrow&
\left\{
\begin{array}{rcl}{}
(1-k)^2-y_0^2-4x_0+2&=&0\\
x_0&=&1-k
\end{array}
\right.\\
\Longleftrightarrow&
\left\{
\begin{array}{rcl}{}
(1-k)^2-4(1-k)+2&=&y_0^2\\
x_0&=&1-k
\end{array}
\right..

\end{align*} Le trinôme :
\begin{align*}

(1-k)^2-4(1-k)+2&=1-2k+k^2-4+4k+2\\
&=k^2+2k-1\\
&=\left(k-(-1-\sqrt{2}\right)\left(k-(\sqrt{2}-1)\right)

\end{align*} est positif ou nul pour $k\leqslant-1-\sqrt{2}$ et $k\geqslant\sqrt{2}-1$.

Dans ce cas, la courbe $\mathscr{C}$ et le plan $\mathscr{P}_k$ se rencontrent en deux points, en particulier au point $(1-k,\sqrt{k^2+2k-1},k)$.

On utilise maintenant les CNS $(\ast)$ d'appartenance à $\mathscr{S}$.
Le plan $\mathscr{P}_k$ contient $M(x,y,z)\in\mathscr{S}$ si et seulement si $z=k$.
D'autre part,
\begin{align*}
&||\overrightarrow{OM_0}||^2=||\overrightarrow{OM}||^2\\
&\Longleftrightarrow x^2+y^2=(1-k)^2+(k^2+2k-1)=2k^2.

\end{align*} La surface de révolution est donc contenue dans la surface d'équation $x^2+y^2=2z^2$ : les points $(x,y,z)$ de la surface de révolution $\mathscr{S}$ ont des altitudes $z\leqslant-1-\sqrt{2}$ et $z\geqslant-1+\sqrt{2}$.

Ma question. Est-ce qu'on peut obtenir une équation de la surface sans ajouter des conditions sur $z$ ?