Rapport aire/périmètre² dans un polygone
Bonjour bonjour, comment ça va ?
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Parmi tous les polygones à n côtés,
et pour un périmètre P donné,
c'est le polygone régulier à n côtés qui a la plus grande aire A.
pour n = 3 la valeur maximale de l'aire vérifie l'égalité 432*A^2 = P^4
pour n = 4 c'est 16*A = P^2
pour n = 5, (1000*A^2 - 25*P^4)^2 = 500*P^8
On peut facilement trouver de telles relations pour n = 5,6 8,10,12...
valeurs liées à la possibilité d'exprimer par des radicaux des nombres tels que sin(2*pi/n).
Je me demandais, par exemple pour n = 7,
si, et comment, on pouvait trouver un polynôme Q à coefficient dans Z
tel que Q(A,P) = 0 ?
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Parmi tous les polygones à n côtés,
et pour un périmètre P donné,
c'est le polygone régulier à n côtés qui a la plus grande aire A.
pour n = 3 la valeur maximale de l'aire vérifie l'égalité 432*A^2 = P^4
pour n = 4 c'est 16*A = P^2
pour n = 5, (1000*A^2 - 25*P^4)^2 = 500*P^8
On peut facilement trouver de telles relations pour n = 5,6 8,10,12...
valeurs liées à la possibilité d'exprimer par des radicaux des nombres tels que sin(2*pi/n).
Je me demandais, par exemple pour n = 7,
si, et comment, on pouvait trouver un polynôme Q à coefficient dans Z
tel que Q(A,P) = 0 ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
est k = sin(2pi/7) / 56sin2(pi/7).
pourquoi ce nombre ne serait-il pas racine d'un polynôme de Z[X] ?
En développant $(\cos(t)+i\sin(t))^n$ on peut exprimer $\sin(nt)$ en fonction de $\tan(t)$.
On en déduit que $\tan(\pi/n)$ est racine du polynôme $P_n=\displaystyle\sum_{k\geq0}\binom{n}{2k+1}(-1)^kX^{2k}$.
Donc le rapport minimal P^2/A d'un polygone à n côtés annule Pn.
On peut rien en faire d'autre de ce polynôme ?
ça n'a rien à voir ou convexité et croisement d'un polygone pourraient s'y lire ?
Le fait que $\tan(\pi/n)$ soit racine de $P_n$ est une propriété algébrique, cela n'a rien à voir avec le fait que le minimum du rapport soit atteint pour un polynôme régulier.