Les coordonnées des points $A$ et $B$ sont données, c'est très basique, non ? On fixe $M$ de coordonnées $(x,y)$. On peut par exemple exprimer que les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires (par un déterminant), ou bien que $\vec{AM}$ est orthogonal à un vecteur qui est orthogonal à $\vec{AB}$ (par un produit scalaire) ou bien...
Ah, bon, d'accord, je n'ai pas lu l'énoncé assez attentivement. J'aurais dû écrire ce qui suit.
On fixe $N$ de coordonnées $(X,Y)$. On peut par exemple exprimer que les vecteurs $\vec{AN}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires (par un déterminant), ou bien que $\vec{AN}$ est orthogonal à un vecteur qui est orthogonal à $\vec{AB}$ (par un produit scalaire) ou bien...
On a pour commencer : $\varphi(i)-i=2j$ et que $\varphi(j)-j=aj$ donc pour tout vecteur $u=mi+nj$ (avec $m$ et $n$ réels), $\varphi(u)-u=m\bigl(\varphi(i)-i\bigr)+n\bigl(\varphi(j)-j\bigr)=(2m+na)j$ : ce vecteur est colinéaire à $j$. Or le point $A$ est fixe et \[\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{M'A}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{f(M)f(A)}=\overrightarrow{MA}-\varphi\bigl(\overrightarrow{MA}\bigr),\]donc $\overrightarrow{MM'}$ est colinéaire à $j$. Le point $H$ a donc pour coordonnées $(x\;\,y+t)$ pour $t$ réel convenable. D'autre part, il appartient à $(AB)$ donc $2x+a(y+t)=2a$, ce qui permet de calculer $t$ et de reporter pour trouver les coordonnées de $H$.
Réponses
On fixe $N$ de coordonnées $(X,Y)$. On peut par exemple exprimer que les vecteurs $\vec{AN}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires (par un déterminant), ou bien que $\vec{AN}$ est orthogonal à un vecteur qui est orthogonal à $\vec{AB}$ (par un produit scalaire) ou bien...
Cela suffit à dire que $H$ a pour coordonnées $H(x ; y+t)$ !
C'est ça que je ne comprends pas.