Groupe de cohomologie de $\mathbb{C}^{2}$
Bonsoir.
comme l'indique le titre de mon sujet j'aurais besoin que quelqu’un m'indique une preuve du théorème suivant : $$
H^1( \mathbb{C}^{2},{ \mathcal{O}^{*} }_{\mathbb{C}^2} ) = 1.
$$ J'ai conscience qu'il s'agit d'un cas particulier du théorème B de [large]C[/large]artan qui est très long à démontrer.
J'aimerais bien que l'on m'indique une preuve pour ce cas particulier si possible.
Merci pour votre aide.
[Aussi bien Elie Cartan (1869-1951) que son fils Henri Cartan (1904-2008) prennent toujours une majuscule. AD]
comme l'indique le titre de mon sujet j'aurais besoin que quelqu’un m'indique une preuve du théorème suivant : $$
H^1( \mathbb{C}^{2},{ \mathcal{O}^{*} }_{\mathbb{C}^2} ) = 1.
$$ J'ai conscience qu'il s'agit d'un cas particulier du théorème B de [large]C[/large]artan qui est très long à démontrer.
J'aimerais bien que l'on m'indique une preuve pour ce cas particulier si possible.
Merci pour votre aide.
[Aussi bien Elie Cartan (1869-1951) que son fils Henri Cartan (1904-2008) prennent toujours une majuscule. AD]
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Réponses
La suite exacte longue en cohomologie associée nous donne $H^1(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}) \to H^1(\mathbb{C}^2, \mathcal{O}^*) \to H^2(\mathbb{C}^2, \Z)$.
Seulement voilà, $\Z$ est un faisceau constant, donc $H^2(\mathbb{C}^2, \Z)$ c'est pareil que la bonne vieille cohomologie singulière de $\mathbb{C}^2$ à coefficients dans le groupe $\mathbb{Z}$ (je n'avais pas prévu de faire de distinction de notation mais tant que j'y suis), et là on sait bien que c'est $0$.
Maintenant, $H^1(\mathbb{C}^2, \mathcal{O})=0$ est peut-être plus simple à montrer, c'est aussi un cas particulier de Cartan B. Si tu sais le montrer de manière élémentaire, ça répond à ta question.
Merci beaucoup pour votre aide et je m'excuse de répondre tardivement en fait ce n'est que maintenant que j'ai compris ce que vous avez écrit et je me suis aussi aidé du livre " shabat introduction to complex analysis " car j'avoue que je ne fait que débuter dans ces histoires de cohomologie.
en tout cas j'ai réussi à régler mon problème et j'ai pu écrire une démonstration plus ou moins simple de $H^1 (\mathbb{C}^2 / \{0\} , \mathcal{O}^{*}_{\mathbb{C}^{2}} ) = 1 $.
J'ai une autre question :
J'aimerais bien montrer que $H^1 ( \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) , \mathcal{O}^{*}_{\mathbb{P}^2(\mathbb{C})} ) = 1 $ malheureusement j'ai pas trouver de référence qui confirme ce résultat mais ça m'arrangerait bien .
J'ai toute fois tenté une démonstration en utilisant le théorème de Leray :
je considère le recouvrement de $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ que je note U par les ouverts suivant :
$ U_1 = \{ [z_1,z_2,1] \in \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) | z_1 , z_2 \in \mathbb{C} \} $
$ U_2 = \{ [z_1,1,z_2] \in \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) | z_1 , z_2 \in \mathbb{C} \} $
$ U_3 = \{ [1,z_1,z_2] \in \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) | z_1 , z_2 \in \mathbb{C} \} $
comme il sont chacun biholomorphe à $\mathbb{C}^2$ donc $H^1(U_i,\mathcal{O}^{*}_{\mathbb{P}^2(\mathbb{C})})=1$ ce qui me permet d'appliquer le théorème de Leray et de dire que :
$$H^1(U,\mathcal{O}^{*}_{\mathbb{P}^2(\mathbb{C})})=H^1(U,\mathcal{O}^{*}_{\mathbb{P}^2(\mathbb{C})} , U) $$
( $H^1(\mathbb{P}^2(\mathbb{C}),\mathcal{O}^{*}_{\mathbb{P}^2(\mathbb{C})} , U) $ est le groupe de cohomologie relativement au recouvrement $U$ )
maintenant je me donne un cocycle $F_{i,j} \in \mathcal{O}^{*}_{U_i \cap U_j}$
comme $U_i \cap U_j $ est biholomorphe à $\mathbb{C}$ alors d’après le théorème de Weierstrass $ F_{i,j}= \frac{F_j}{F_i} $ avec $F_j,F_i \in \mathcal{O}^{*}_{U_i \cap U_j} $ donc tout cocycle est un cobord ce qui prouve que $$H^1(\mathbb{P}^2(\mathbb{C}),\mathcal{O}^{*}_{\mathbb{P}^2(\mathbb{C})})=H^1(\mathbb{P}^2(\mathbb{C}),\mathcal{O}^{*}_{\mathbb{P}^2(\mathbb{C})} , U) = 1$$
Ma démonstration est juste où j'ai fait une bêtise ?
Merci pour votre aide