Nombres complexes

MathsLat
MathsLat
dans Géométrie
Bonjour
J'aimerais avoir de l'aide pour un exercice.

Dans un repère orthonormale (O;u;v),
1) On considère un point noté P d'affixe z et son image P' par la rotation de centre 0 et d'angle pi/2 dans le sens trigonométrique.
Il faut donc exprimer l'affixe de P' (noté z') en fct fonction de z.

Grossièrement, je vois bien que z' c'est en gros l'affixe de z + rotation de Pi/2. Mais je ne comprends pas comment l'exprimer mathématiquement de façon correcte. Merci de votre aide.

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Ben, c'est évident: $z'=iz$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Math Coss
    Math Coss
    Quel est le module de $z'$ par rapport à celui de $z$ ?
    Quel est « l' » argument de $z'$ par rapport à « celui »de $z$ ?
    Quelle est l'écriture (géométrique/trigonométrique) du nombre $z'$ que tu viens de caractériser par son module et son argument ?

    PS : Il est évident que la notion d'évidence est subjective.
  • MathsLat
    MathsLat
    Merci de vos réponses.

    Le module de z' par rapport à z c'est : module(z') = module(z) car les deux points sont situés à égale distance du point O.

    arg(z') = arg(z) + pi/2

    Ecriture du nombre z' sous forme trigonométrique : z' = module(z) ( cos(arg(z) + pi/2) + i sin (arg(z) + pi/2)

    Est-ce juste ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Ce n'est pas faux mais pas terminé. Comment continuer ? En développant $\cos(\theta+\frac\pi2)$ et $\sin(\theta+\frac\pi2)$, où $\theta$ est un argument de $z$. À vrai dire, il serait plus efficace d'écrire \[z'=|z|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bigl(\theta+\frac\pi2\bigr)}\]si tu connais cette forme.
  • MathsLat
    MathsLat
    Oui je connais cette forme et je comprends d'où elle sort. Faut-il encore simplifier cette formule ??
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui, évidemment, le but est (évidemment ?) de trouver la réponse (évidente ?) de Rescassol. Avec la forme exponentielle, donc, tu peux utiliser la propriété fondamentale de l'exponentielle, à savoir de transformer les sommes en produits.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Pour répondre à MathsLat, vous pratiquez l'art du "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué" !!...

    Quand on multiplie deux complexes, on mutiplie les modules et on ajoute les arguments.
    Donc, quand on multiplie par $i$ (module $1$ et argument $\dfrac{\pi}{2}$) on multiple le module par $1$ et on ajoute $\dfrac{\pi}{2}$ à l'argument.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour
    Si on veut se compliquer la vie, on a $e^{i\tfrac{\pi}{2}}=i$.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Math Coss
    Math Coss
    No comment.
  • MathsLat
    MathsLat
    Merci pour votre aide, ça me désole de ne pas réussir des trucs comme ça…
    Bonne fin de journée, et merci d'avoir pris un peu de temps pour me répondre.
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