Exercice sur les complexes
Bonjour
Je ne comprends pas cet exercice.
On considère la suite zn par la relation : zn+1 = 1 - 1/zn ou z0 est différent de 0 et de 1.
M0, M1, M2 sont les points d'affixes respectives z0, z1, z2.
Étudier la nature des triangles M0,M1,M2 selon la valeur de z0.
Voila ce que j'ai fait.
Cas ou le triangle est isocèle : M0M1 = M0M2 / M0M2 = M1M2 / M0M1 = M1M2. Le probleme est que je me retrouve avec des calculs que je narrive pas à résoudre.
Cas ou le triangle est rectangle : je ne vois pas trop mis à part qu'il faut un angle de pi/2 pour avoir un angle droit.
Cas ou le triangle est équilatéral : ??
Cas ou le triangle est plat : Les 3 points doivent être alignés mais que faire ??
Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.
Je ne comprends pas cet exercice.
On considère la suite zn par la relation : zn+1 = 1 - 1/zn ou z0 est différent de 0 et de 1.
M0, M1, M2 sont les points d'affixes respectives z0, z1, z2.
Étudier la nature des triangles M0,M1,M2 selon la valeur de z0.
Voila ce que j'ai fait.
Cas ou le triangle est isocèle : M0M1 = M0M2 / M0M2 = M1M2 / M0M1 = M1M2. Le probleme est que je me retrouve avec des calculs que je narrive pas à résoudre.
Cas ou le triangle est rectangle : je ne vois pas trop mis à part qu'il faut un angle de pi/2 pour avoir un angle droit.
Cas ou le triangle est équilatéral : ??
Cas ou le triangle est plat : Les 3 points doivent être alignés mais que faire ??
Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.
Réponses
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Pour commencer, as-tu calculé $z_1$, $z_2$, $z_3$ ? As-tu remarqué quelque chose d'amusant ?
Il est recommandé de simplifier les fractions au fur et à mesure. En fait, d'écrire tout le monde sous la forme $\frac{az_0+b}{cz_0+d}$ avec $a$, $b$, $c$, $d$ explicites (et simples !). -
Oui je sais que z1 = 1 - 1/z0
que z2 = 1 - (1/(1-1/z0))
et je sais également que z3 = z0 mais en quoi z3 peut m'aider ? -
L'écriture de $z_1$ est discutable (dans certaines situations, peut-être que $\frac{z_0-1}{z_0}$ sera plus commode) mais assurément, l'écriture de $z_2$ est inexploitable ! Voudrais-tu la simplifier ?
Le calcul de $z_3$ sert à vérifier les calculs précédents : quand on fait une remarque si simple, on s'est trompé grossièrement ou alors on se réjouit que ce soit si joli. As-tu fait le calcul ? Si oui, as-tu vraiment utilisé la forme de $z_2$ que tu as écrite ?
Poursuivons. Pour le cas « isocèle », tu pourrais commencer par comparer $|z_1-z_0|$ et $|z_2-z_0|$. As-tu écrit ces deux quantités comme (modules de) quotients de polynômes en $z_0$ ? Qu'as-tu remarqué ? -
Si je simplifie encore z2 , j'obtiens z2 = -1/zo-1
Si j'essaye de comparer je me retrouve avec ( disons que "[" correspond au barre des modules) :
[z1 - z0] = [ (- z0² + z0 - 1 ) / z0]
et
[z2 - z0] = [(-z0² + z0 - 1) / (z0 - 1) ]
Après honnêtement je ne vois pas comment les comparer sachant que si je mets ces deux expressions en équation, je ne peux pas vraiment intervertir les éléments entre eux à cause des modules. Et sinon oui les deux expressions se ressemblent un peu mais bon…
EDIT : je me suis trompé dans le calcul de [ z2 - z0] c'est + z0 et non pas - z0 sur le numérateur. (je corrige l'erreur)
EDIT : Oups au dessus aussi…
Après avoir corrigé les erreurs je remarque que les expressions sont très similaires mais comment les exploiter ?? Je sais qu'il y une formule qui dit ceci [z/z'] = [z]/[z'] -
Attention : quand tu écris $z_2=-1/z_0-1$, tu écris $z_2=-\dfrac{1}{z_0}-1$ et pas $z_2=-\dfrac{1}{z_0-1}$, qui est sans doute ce que tu veux écrire. (Tu te souviens ? Parenthèses, priorités tout ça ?)
Oui, tu fais bien de te rappeler ici la formule $\Bigl|\dfrac{w}{w'}\Bigr|=\dfrac{|w|}{|w'|}$, valable pour tout $w\in\C$ et tout $w'\in\C^*$. Ici, cela te donne (en remplaçant $z_0$ par $z$) : \[\frac{|z^2-z+1|}{|z|}=\frac{|z^2-z+1|}{|z-1|}.\] Attention avant de diviser par $|z^2-z+1|$, tu dois t'assurer que ce nombre n'est pas nul. En pratique, tu dois traiter à part le cas où $z^2-z+1=0$ – à quels $z$ cela correspond-t-il ? Après, il te reste une équation simple qui définit une courbe que tu peux reconnaître. -
Ou en effet j'ai oublié les parenthèses, désolé.
Donc si je comprends bien, pour tout z / { (1 + iRacineCarrée(3)) / 2 ; et son conjugué} :
On aura à résoudre [ z] = [z - 1 ] ?? -
C'est exactement ça. Les nombres $\frac{1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ sont deux solutions particulières (en fait, pas vraiment puisqu'elles sont solutions de $|z|=|z-1|$) et il y en a une infinité d'autres.
Géométriquement, comment interprètes-tu $|z-1|$ ? et $|z|$ ? Pour quels points est-ce que ces distances sont égales ? -
Géométriquement, [z -1] correspond à une "portion" de [z] ?? Mais je ne vois comment qu'ils peuvent être égaux...
-
Tu n'as pas répondu aux questions :
- que représente $|z|$ pour le nombre complexe $z$ ?
- étant donnés deux nombres complexes $z$ et $w$, que représente $|z-w|$ ?
- qu'est-ce donc que $|z-1|$ ?
- quels sont les points tels que $|z|=|z-1|$ ?
Si tu ne vois pas, tu n'as qu'à écrire l'égalité sous la forme $|z|^2=|z-1|^2$ et remplacer $|z|$ et $|z-1|$ par leurs expressions en fonction de la partie réelle $x$ et de la partie imaginaire $y$ de $z$. -
1) [z] représente la distance entre le point d'origine du repère et le point d'affixe z
2) [z-w] représente la distance entre le point W d'affixe w et le point Z d'affixe z.
3)[z-1] représente la distance entre le point d'abscisse -1 et le point Z.
4) J'essaye de trouver une réponse
En faisant la dernière étape je trouve x = 1/2 -
4) Tu cherches donc l'ensemble des points qui sont à la même distance du point d'affixe $0$ que du point d'affixe $1$ [PS : et pas $-1$, comme le fait remarquer Rescassol].
OK pour la réponse numérique. Et qu'est-ce que l'ensemble des points $(x,y)$ tels que $x=1/2$ ? Que représente-t-il pour les points $(0,0)$ et $(1,0)$ ? -
Bonjour,
> 3)[z-1] représente la distance entre le point d'abscisse -1 et le point Z.
Non.
Cordialement,
Rescassol -
L'ensemble des points (x, y) tel que x = 1/2 sont l'ensemble des points situés sur le cercle de rayon 1/2. Ils représentent le milieu entre ses deux points ?
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Voyons : $x=1/2$, ça te fait penser à l'équation d'un cercle ?
Trace 4 ou 5 points d'abscisse $1/2$ sur un dessin, ça va te sauter aux yeux. -
Ah oui en effet … c'est l'ensemble des points situés sur la droite verticale en x = 1/2
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Bien. As-tu regardé où sont les points d'affixes $0$ et $1$ par rapport à cette droite ? Qu'est-ce que cette droite pour ces points ?
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C'est la médiane du segment formé par ces deux points non ?
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Peu s'en faut... On parle de médiane dans un triangle, c'est la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Pour un segment, on parle de...
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Médiatrice. Je crois les mathématiques se retournent dans leur tombe avec ce que je suis en train de dire.
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Comme si elles étaient mortes !
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Avec les bêtises que je sors oui je crois. Merci pour votre aide même si je suis toujours largué. Je vous laisse tranquille, je pense vous avoir suffisamment perdre de temps avec mes bêtises, je vais essayer de m'en sortir seul (MDR).
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Bon, ça n'a pas été instantané mais tu as résolu un cas de l'exercice. Hardi.e !
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Bonjour!
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