Division de la lemniscate

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Dis-moi si ça te convient.

e.v.

Bonjour
C'est un sujet qui rentre dans le cadre de la théorie de Galois.
On peut trouver la méthodologie de construction dans l'excellent ouvrage de David A. Cox "Galois theory" chez Wiley.
Une représentation de la 5-division et de la 6-division de la lemniscate :

Bonsoir,

Avec GeoGebra je trace la lemniscate : $x=\frac{\sin(t)}{1+\cos(t)^2}$, $y=x \times \cos(t)$ ($0\leq t\leq 2\pi$).
J'y place à la main $17$ points $A$, $B$, $C$, ..., $P$, $Q$, déterminant à peu près un partage équitable de la longueur de la courbe.
Je fais calculer au logiciel les longueurs d'arcs de la lemniscate entre deux points consécutifs,
grâce à la commande longueur(courbe, point, point).
(attention : pour l'arc $AB$, il faut calculer la longueur totale de la courbe moins celle de l'arc $AB$ donné par GGB pour avoir la longueur réelle de cet arc).

J'appelle, par exemple, vbc, la longueur de l'arc entre $B$ et $C$.

Je munis chacun de ces points d'une vitesse (clic droit sur le point, puis propriétés, et enfin algèbre).
Cette vitesse est égale à la différence de longueur entre deux arcs consécutifs dont ce point est une extrémité.
Exemple : pour $C$ la vitesse est égale à $vcd-vbc$.
De sorte qu'il y ait convergence en animant tous ces points. (les vitesses donc les différences de longueur d'arcs vont tendre vers $0$).

Je lance alors ces $17$ points en même temps (en les sélectionnant tous, puis animer). En quelques secondes j'ai les coordonnées des points (au moins à $10^{-12}$ près) qui partagent la lemniscate en $17$ arcs de même longueur.

Avec l'inverseur de Plouffe je peux déterminer la distance de $B$ à l'origine (entrer son carré). Et j'obtiens $\frac{1}{600} \; \sqrt{6 \; \left(24 \; \sqrt{6} + \sqrt{102} \right)}$, qui est constructible.

Je n'ai pas essayé les autres mais il donne sans doute la réponse exacte (puisqu'il peut la donner pour $B$ et que les autres sont de complexité identique).

Bonsoir, Ludwig,
Je me permets de te suggérer de tester une approche un peu différente, mais je pense qu'elle devrait donner des résultats aussi bons que ceux que tu as obtenus.
Ton idée de placer 17 points sur la lemniscate et d'ajuster les longueurs des arcs ressemble énormément à ce que j'ai fait dans le cas du cercle : je pars d'un polygone quelconque inscrit dans ce cercle, et je définis un "polygone transformé" de même ordre ayant pour sommets, par exemple, les milieux de chaque arc de cercle. J'ai montré que, quand on réitère cette transformation plusieurs fois, le polygone obtenu est de plus en plus régulier, les arcs tendant à prendre tous la même longueur. Je joins le fichier contenant ce travail.
Je pense que le phénomène pourrait bien se reproduire dans le cas de la lemniscate, donc aurais-tu la gentillesse d'essayer, s'il te plaît ? Je me permets de te le demander, puisque tu maîtrises Geogebra beaucoup mieux que moi : je n'y ai pas encore repéré cette commande de calcul de longueur des arcs, et le temps que j'apprenne à m'en servir ... 8-)
Merci d'avance.
Bien cordialement
JLB

Bonne nuit, Ludwig,
Mon idée n'est pas de tracer des bissectrices, mais plutôt les médiatrices de chaque corde et de prendre pour nouveaux points les points d'intersection de ces médiatrices avec la lemniscate ... qui doivent sans doute être assez proches des milieux des arcs puisque tu en as 17, le rayon de courbure ne doit pas beaucoup varier sur un arc, j'imagine ... ou suis-je trop optimiste ?
Bien cordialement
JLB