Triangles du 25.03.2019

Bonjour
Il y a en fait deux centres permanents de similitude entre le triangle $ABC$ et les triangles $PQR$.
Déjà que les centres de similitude ont disparu de la circulation depuis longtemps, ne parlons pas des permanents encore plus rares que ceux du PC!
Ce sont les deux points de coordonnées tripolaires $(1:\sqrt 2:2)$ dans le triangle $ABC$

Poulbot en a découvert un, à savoir son point $C'$, l'autre est l'inverse (quesaco?) $C''$ de $C'$ par rapport au triangle $ABC$.
J'ai dessiné en rouge les triangles de Poulbot de centre permanent de similitude $C'$ et en bleu ceux de Soland de centre permanent de similitude $C''$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Christoph
"Je suis étonné par le nombre de solutions"
Il y a $2$ autres familles de solutions données par une similitude indirecte.
La première est évidente : les triangles $PQC^{\prime }$ de ma figure plus haut.
Ci-dessous, comment construire un triangle $PQ^{\prime }R^{\prime }$ de la deuxième famille à partir d'un "triangle bleu" $PQR$ de Pappus ($z_{Q}z_{Q^{\prime }}=-1$).
Amicalement. Poulbot

Bonjour
On peut se demander pourquoi chacun des côtés des triangles rouges de Pappus passent par un point fixe alors que ce n'est pas le cas pour les triangles bleus.
C'est tout simplement du au fait que les distances $AC^{\prime },BC^{\prime },CC^{\prime }$ sont égales respectivement à $1,\sqrt{2},2$ alors que les distances $AC^{\prime \prime },BC^{\prime \prime },CC^{\prime \prime }$ ne sont que proportionnelles à $1,\sqrt{2},2$.
En fait (et on a probablement déjà du le voir) ce résultat est général.

Etant donnés un triangle $ABC$ et un point $\Omega $, désignons par $\Gamma _{A},\Gamma _{B},\Gamma _{C}$ les cercles de centres $A,B,C$ passant par $\Omega $ et par $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ les deuxièmes points communs à $\Gamma _{B}$ et $\Gamma _{C}$, $\Gamma _{C}$ et $\Gamma _{A}$, $\Gamma _{A}$ et $\Gamma _{B}$.
Alors étant donnés $P\in \Gamma _{A},Q\in \Gamma _{B},R\in \Gamma _{C}$, le triangle $PQR$ est image de $ABC$ par une similitude directe de centre $\Omega $ si et seulement si les droites $QR,RP,PQ$ passent respectivement par $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ (deux de ces conditions entraînent d'ailleurs la troisième).

Amicalement. Poulbot

Bonjour Bouzar
"Une rescassolisation est possible"
Probablement mais on peut faire bien plus simple en utilisant le fait que $\Omega $ est le centre de la similitude directe $A\rightarrow P,B\rightarrow Q$ $\Longleftrightarrow $ $\Omega $ est le centre de la similitude directe $A\rightarrow B,P\rightarrow Q$.
Si $P\in \Gamma _{A},Q\in \Gamma _{B}$, cette dernière similitude transforme visiblement $\Gamma _{A}$ en $\Gamma _{B}$ et la condition ci-dessus équivaut à $P,Q,C^{\prime }$ alignés (voir, par exemple, Lebossé-Hémery).
Amicalement. Poulbot