Huit points en involution

Bonjour à tous
Voici la figure de Bouzar dans toute sa splendeur
On part d'un quadrilatère complet c'est à dire de quatre droites: $a$, $b$, $c\ $, $d\ $ en position générale.
Je note $H_a$ l'orthocentre du triangle formé par les trois droites $(b,c,d)$, $H_b$ l'orthocentre du triangle formé par les trois droites $(a,c,d)$, $H_c$ l'orthocentre du triangle formé par les trois droites $(a,b,d)$, $H_d$ l'orthocentre du triangle formé par les trois droites $(a,b,c)$.
On sait ou plutôt on savait ou plus exactement, on en a plus rien à cirer, que ces quatre orthocentres sont alignés sur la directrice de l'unique parabole tangente aux quatre droites $(a,b,c,d)$, directrice notée $L$ sur la figure.
Je note les intersections: $\alpha= L\cap a\ $, $\beta=L\cap b$, $\gamma=L\cap c$, $\delta=L\cap d$.
Alors les quatre paires $(H_a,\alpha)$, $(H_b,\beta)$, $(H_c,\gamma)$, $(H_d,\delta)$ sont quatre paires de points en involution.
Aujourd'hui plus personne ne sait ce qu'est une involution sauf peut-être Jacques Lacan mais il a disparu lui aussi depuis un bon bout de temps en compagnie des involutions!
Alors faisons comme si!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Rescassol
Je pense avoir été plus précis que Bouzar puisque j'ai groupé ces huit points deux par deux, ce qu'il n'avait pas fait.
L'involution en question, c'est forcément une involution de la droite $L$ sur laquelle sont alignés ces huit points.
Ne me dis pas que tu ne connais pas ce qu'est une involution d'une droite!
On en a parlé des dizaines de fois ici même
En tout cas ce ne sont pas les involutions chères à Jacques Lacan!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Rescassol
Que nous racontes-tu là qui a peu de rapport sinon aucun avec la figure de Bouzar?
La droite de Bouzar, c'est la droite $L$, ce n'est ni $\mathbb Q$ ni $\mathbb R$!!
Il faut exhiber une homographie involutive $f$ de la droite $L$ telle que:
$f(H_a)=\alpha$, $f(H_b)=\beta$, $f(H_c)=\gamma$, $f(H_d)=\delta$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Finalement avec la méthode suivie par Bouzar, c'est un simple calcul pour Python ou MatLab!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Rescassol
Quand on parlait en géométrie d'involution sur une droite, cela était autrefois suffisamment clair!
Mais il est vrai qu'aujourd'hui les choses ont tant changé que certains, pas toi évidemment, ne savent même plus ce qu'est une droite!
Amicalement
[small]p[/small]appus