Espace affine

Mister Da · March 2019

Bonjour,

mon niveau en géométrie est honteusement faible. Je me pose une question bien naïve mais je ne trouve pas de réponse dans la littérature.

En considérant un espace affine $\mathcal{E}$ de direction $E$ de dimension $n$, on définit un repère cartésien en choisissant $O\in\mathcal{E}$ et une base $B$ de $E$. Les coordonnées (cartésiennes) d'un point $M\in\mathcal{E}$ sera par définition les coordonnées du vecteur $\vec{OM}\in E$ dans la base $B$.

Maintenant, je souhaiterais faire la construction inverse, comme on le fait pour des coordonnées curvilignes.

Pour cela, je pensais choisir un point $O\in\mathcal{E}$ et $n$ droites graduées deux à deux non confondues qui s'intersectent en $O$. Ceci donne un système de coordonnées cartésiennes. Pour retrouver le $i$ème vecteur de la base, je pensais du coup considérer un point $M(u_1,\dots,u_i,\dots,u_n)$ et un point décaler selon à $i$ème coordonnée d'une quantité $h>0$ $M(u_1,\dots,u_i+h,\dots,u_n)$. La différence de ces deux points donnent un vecteur $\vec{V}_i(h) = M(u_1,\dots,u_i+h,\dots,u_n) - M(u_1,\dots,u_i,\dots,u_n)$ de $E$ et je comptais définir le vecteur $\vec{e}_i$ en prenant la limite suivante $\vec{e}_i = \lim_{h\to 0}\vec{V}_i(h)$ et après avoir justifié qu'il est indépendant du point $M$ choisi dire que $e_i$ est le $i$ème vecteur de la base qui sert pour construire le repère cartésien associé.

Est-ce que tout ceci tient la route ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da

Édit : L'espace affine est euclidien pour pouvoir graduer les droites.

pappus · March 2019

Mon cher Mister Da
Tu dis: $n$ droites graduées deux à deux non confondues.
Cela ne va pas marcher dans l'espace à $3$ dimensions si tu prends trois droites deux à deux non confondues et coplanaires.
A la fin de ton message, tu dis aussi:
L'espace affine est euclidien pour pouvoir graduer les droites.
Cela ne veut absolument rien dire!
Les espaces affines sans structure euclidienne se suffisent parfaitement à eux mêmes!
Et puis qu'entends-tu par graduer une droite et quel est l'intérêt d'une telle opération si elle était possible?
Si tu entends par là qu'il y aurait un graveur patenté chargé d'installer des graduations sur toutes les droites de l'espace, il n'est pas prêt de finir son boulot!
Tu as une vision trop anthropomorphique de la géométrie.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · March 2019

Bonjour pappus,

merci d'avoir pris le temps de lire mes élucubrations.

Effectivement je me suis vautré en beauté sur les droites deux à deux disjointes

Cela m'apprendra à résonner en dimension 2 puis remplacer 2 par $n$...

"L'espace affine est euclidien pour pouvoir graduer les droites. Cela ne veut absolument rien dire!"
En fait pour pouvoir mettre régulièrement des bornes kilométriques sur les droites je me suis dit qu'il me fallait le concept de longueur qui n'existe pas en géométrie affine, d'où mon invocation d'Euclide.

"Et puis qu'entends-tu par graduer une droite et quel est l'intérêt d'une telle opération si elle était possible?"
J'entendais par là, que je repère un point sur la droite par sa distance (signée) entre lui et l'origine.

Il n'y a pas d'intérêt particulier. Je voulais juste mimer ce qu'on peut faire en coordonnées curvilignes ou ce qu'on semble faire sur une variété. On considère dans un premier temps des trajectoires et puis dans un second temps on définit les vecteurs tangents à ces trajectoires en un point donné. Je me suis dit qu'ici l'espace affine jouait le rôle de la variété et que l'espace vectoriel associé jouait le rôle de l'espace tangent (le même espace tangent en tout point de l'espace affine).

Donc j'aurais aimé faire, en dimension $2$ par exemple, un quadrillage du plan affine et à l'intersection de deux lignes construire les vecteurs tangents et me rendre compte qu'ils seront les mêmes en tout point. Pour faire ce quadrillage je me suis dis qu'il me fallait une origine, deux droites et deux unités de longueur (une par droite).

Mais visiblement, il faut que je revois ma copie c'est ça ?

Encore merci pour ton aide.
Cordialement,
Mister Da

pappus · March 2019

Bonsoir Mister Da
La grande différence avec les variétés, c'est que dans un espace affine les coordonnées sont globales. Une seule carte suffit pour un espace affine.
Dans une variété , les coordonnées sont locales et il faut tout un atlas pour recouvrir une variété de cartes locales.
Quant à la construction du fibré tangent à une variété, elle reste très abstraite et surtout surtout, il y a de multiples façons de s'y prendre.
Pas question de te pointer avec tes règles graduées.
Avant de graduer une droite affine $L$, il faut se donner un isomorphisme affine:
$\varphi:\mathbb R\mapsto L$
Cela équivaut à se donner deux points $a_0$ et $a_1$ de $L$ en sorte que: $\varphi(0)=a_0$ et $\varphi(1)=a_1$
$\varphi$ est alors entièrement déterminé puisque $\varphi$ étant affine, on a:
$\varphi(t)=(1-t).a_0+t.a_1$
Ce que tu appelles graduation associée à $\varphi$ est tout simplement $\varphi(\mathbb Z)$.
En dimension $2$, on peut parler de grille mais en dimension quelconque, on parle plutôt de réseau!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Pour un espace affine $\mathcal E$ dont l'espace vectoriel associé est $E$, le fibré tangent est par définition:
$pr_1:\mathcal E\times E\longmapsto \mathcal E; (x,\xi)\mapsto x$
Un peu plus généralement si $U$ est un ouvert de l'espace affine $\mathcal E$, le fibré tangent à $U$ est:
$pr_1:U\times E\longmapsto U; (x,\xi)\mapsto x$
Dans le cas général d'une variété, on se sert justement des cartes locales et des changements de cartes pour recoller ces morceaux triviaux!

Mister Da · March 2019

Bonjour,

merci énormément pour ton aide, c'est beaucoup plus clair ! Je construisais une usine à gaz alors que le repère affine répond à ma question.

Pour essayer d'écrire les choses avec le vocabulaire des variétés, je vais essayer de te paraphraser avec mes mots. Pour un espace affine réel $\mathcal{E}$ de dimension $n$, on fixe $n+1$ points baptisés $O, P_1, \dots, P_n$. Aucun de ces points n'appartient aux sous-espaces affines engendrés par les autres (ce qui revient à dire que les vecteurs $\vec{OP_1}, \dots, \vec{OP_n}$ forment une base de $E$ (la direction de $\mathcal{E}$) mais chute c'est un secret vu que je ne souhaite pas parler de vecteurs).

Chaque point $M\in\mathcal{E}$ peut être construit de manière unique avec un jeu de $n$ nombres réels $\lambda_i$ en considérant la combinaison affine (la somme des $n+1$ poids égale $1$ par construction) suivante $M = (1-\sum_{i=1}^n \lambda_i) O + \sum_{i=1}^n (\lambda_i P_i)$. Les $n$ nombres réels $\lambda_i$ seront les coordonnées barycentriques du point $M$.

Tout ceci revient bien à se donner un isomorphisme affine $\varphi\colon\mathbb{R}^n\to\mathcal{E}$. Peut-on dire que c'est une paramétrisation de l'espace affine ?

Enfin histoire de faire inutilement compliqué, en notant $e_i$ le $n$-uplet avec un $1$ en ième position et des zéros ailleurs, une manière de retrouver le vecteur $\vec OP_i$ est de se placer à un point quelconque $M$ de coordonnées $x=(x_1,\dots, x_n)$ et de calculer $\lim_{h\to 0} = \frac{1}{h}[\varphi(x+he_i) - \varphi(x)]$.

Ici, on a donc une carte qui est donnée par $(\mathcal{E},\varphi^{-1})$. Maintenant, si nous prenons un nouveau jeu de $n+1$ points, on construit un nouvel isomorphisme affine $\tilde\varphi$, et la nouvelle carte $(\mathcal{E},\tilde\varphi^{-1})$ est juste un changement de coordonnées.

Est-ce que cela est correct ?
Mille merci par avance pour ta patience.
Cordialement,
Mister Da

pappus · March 2019

Mon cher Mister Da
A mon âge, on attend et on est patient, que faire d'autre?
On attend quoi? On ne le sait pas ou on le sait trop, au choix, peut-être toi au fond?
Un espace affine de dimension $n$ sur le corps des réels n'est pas vraiment défini de la façon que tu dis.
Mais en définitive, on a bien des isomorphismes affines: $\mathbb R^n\mapsto \mathcal E$.
Pourquoi es-tu obsédé par cette question de limite?
$\lim_{h\to 0}= \frac{1}{h}[\varphi(x+he_i) - \varphi(x)]$.
Si $\varphi:\mathbb R\mapsto \mathcal E$ est affine, on a en fait l'égalité:
$e_i= \frac{1}{h}[\varphi(x+he_i) - \varphi(x)]$ pour tout $h\in \mathbb R$ mais tu ne nous as pas dit ce qu'était $\varphi$!
La seule façon d'apprendre la géométrie affine est encore de faire des problèmes.
C'est plus utile que de ruminer les définitions!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · March 2019

Bonjour,

ce serait me faire trop d'honneur que de vouloir m'attendre !

Je pensais avoir dit qui était $\varphi$. Une fois fixés le point $O$ et les $n$ points $P_i$, on définit l'application $\varphi\colon \mathbb{R}^n\to\mathcal{E}$ par
$\varphi\colon (x_1,\dots,x_n)\mapsto (1-\sum_{i=1}^n x_i) O + \sum_{i=1}^n (x_i P_i)$. De cette manière $\varphi(e_k) = P_k$ pour tout $k\in[\![1,n]\!]$ et où $e_k$ est le $k$ième $n$-uplet de la base canonique de $\mathbb{R}^n$. Me suis-je encore pris les pieds dans le tapis ?

Je suis obsédé par cette histoire de limite (qui est bien inutile ici j'en suis conscient) car je voulais faire le même type de constructions que celles que je pense savoir faire avec des coordonnées curvilignes lors de la construction d'une base locale. C'est-à-dire qu'on repère un point $M$ par ses coordonnées puis on trace "les courbes coordonnées" et on finit par construire les vecteurs tangents à ces courbes au point $M$ en faisant une limite. A défaut d'être intelligent, est-ce que c'est juste ?

Si tout ceci n'est pas trop faux, je voudrais abuser de ta gentillesse pour poser une dernière question. Quand on souhaite utiliser, par exemple, les coordonnées polaires $r$ et $\theta$, on les définit à partir des coordonnées cartésiennes par une relation du type $x = r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ avec $r>0$ et $\theta\in[0,2\pi[$. Mais je me dis que les coordonnées polaires n'ont pas besoin des coordonnées cartésiennes pour vivre. Malheureusement, je n'arrive pas à faire une construction pour les définir proprement. Une fois qu'on dispose de la notion d'angle, on peut construire un isomorphisme affine qui me permette ensuite de graduer les angles comme tu as fait pour la graduation de la droite affine ?

Je te remercie par avance pour tes précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da

pappus · March 2019

Mon cher Mister Da
Comme je te l'ai dit, les coordonnées cartésiennes sont d'une autre nature que celles qui sont locales.
Elles sont globales et linéaires et c'est cela le plus important
La donnée de l'isomorphisme linéaire $\mathcal E\mapsto \mathbb R^n$ qui définit un système de coordonnées cartésiennes est essentiel.
Ce n'est plus le cas avec une carte locale: $U\mapsto \mathbb R^n$ d'un ouvert $U$ d'une variété $V$. qui ne concerne plus qu'une partie de la variété $V$. On perd la globalité et la linéarité mais on garde la différentiabilité.
Je ne vais pas te refaire tout un cours sur les variétés mais quand on étudie un morphisme $f$ d'une variété $V$ dans une variété $W$, cette étude se fait localement: on regarde comment les coordonnées locales du point $f(m)\in W$ dépendent des coordonnées locales du point $m\in V$.
Bien sûr tout ce qui est valable pour les coordonnées locales l'est aussi pour les coordonnées cartésiennes et tu peux recommencer certaines constructions mais à quoi bon recommencer, c'est une perte de temps.
En ce qui concerne les coordonnées polaires, tu ne peux les dissocier du contexte géométrique qui a permis de les définir.
Par contre tu peux te poser la question de savoir si ces coordonnées sont locales ou globales et de quelle variété sont-elles les cartes.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · March 2019

Bonjour,

merci énormément pour le temps que tu me consacres. Je n'ai pas répondu rapidement car je voulais prendre le temps de la réflexion mais je ne suis pas allé bien loin.

Je ne pense pas avoir compris cette phrase "En ce qui concerne les coordonnées polaires, tu ne peux les dissocier du contexte géométrique qui a permis de les définir.". Était-ce en réponse sur la construction des coordonnées ? Si on se donne un point (le pôle) et une demie droite émanant de ce point (l'axe polaire) on peut définir les coordonnées polaires sans avoir à parler des coordonnées cartésiennes, non ?

La dernière phrase
"Par contre tu peux te poser la question de savoir si ces coordonnées sont locales ou globales et de quelle variété sont-elles les cartes." appuie exactement où ça coince. Je ne sais pas bien répondre à cette question et je pense que c'est d'ici que vient mon incompréhension finalement.

Je patine beaucoup sur ta question. Je me lance quitte à dire d'énormes bêtises. Je suis tenté de dire qu'avec les coordonnées polaires on peut repérer tous les points du plan affine hormis le pôle. Du coup elles seraient locales mais j'ai tendance à les voir globales. Je ne sais pas de quelle variété elles sont les cartes. J'aurais bien dit le plan affine en personne. Enfin là où je me perds, c'est qu'en chaque point (hormis le pôle) on a une base locale du même espace tangent qui peut ensuite servir de base pour faire de nouvelles coordonnées cartésiennes et je crois que c'est ça qui m'embrouille le plus au final. Quand on écrit le vecteur position $\vec{OM}(r,\theta)$ dans la base locale $(\,\vec u_r(r,\theta)\,,\,\vec u_\theta(r,\theta)\,)$ pour repérer le point $M$ de coordonnées $(r,\theta)$ on pose $\vec{OM}(r,\theta)= r\vec u_r(r,\theta)$ ce qui me suffit pour me noyer dans un verre d'eau vide.

Je tends mes doigts et j'attends le coup de règle.

Cordialement,
Mister Da

pappus · March 2019

Bonsoir Mister Da
J'avais dit cette phrase, uniquement parce que tu avais écrit que les coordonnées polaires n'ont pas besoin des coordonnées cartésiennes pour vivre.
Dans les formules: $x=r\cos(\theta)$, $y=r\sin(\theta)$, les coordonnées cartésiennes font partie de la définition des coordonnées polaires $(r,\theta)$ et pas n'importe quelles coordonnées cartésiennes, uniquement celles provenant d'un repère orthonormé!
Maintenant on parle des coordonnées polaires $(r,\theta)$ d'un point $(x,y)$ du plan comme si c'était une chose très naturelle qui allait de soi, comme si on avait une mystérieuse application $(x,y)\mapsto (r,\theta)$ permettant de calculer les uniques coordonnées polaires $(r,\theta)$ du point $(x,y)$. Est-ce vraiment comme cela que se présente la situation?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · March 2019

Bonjour,

effectivement j'avais complétement oublié de préciser un repère orthonormé.

Sincèrement, je ne sais plus où j'en suis avec les coordonnées polaires. Plus j'essaye de les comprendre moins je comprends.

Pour les définir, il n'y a aucun autre moyen que d'utiliser des coordonnées cartésiennes provenant d'un repère orthonormé ?

Si on a les mesures de longueurs et d'angles avec nous, ma croyance qu'il suffit que nous nous donnions un point (le pôle) et une demie droite émanant de ce point (l'axe polaire) pour définir les coordonnées polaires sans avoir à parler des coordonnées cartésiennes est totalement fausse ?

"Est-ce vraiment comme cela que se présente la situation? "
A l'aide de Pythagore et de la fonction arc tan je pensais que c'était comme cela que se présentait la situation. Visiblement je suis complétement à côté de la plaque

Pourrais-tu m'aider à remettre la locomotive dans le bon sens ?

Cordialement,
Mister Da

Mister Da · April 2019

Bonjour,

j'essaye de continuer de me désintoxiquer de ma mauvaise vision des coordonnées polaires.

Je reprends la question de pappus : "Par contre tu peux te poser la question de savoir si ces coordonnées sont locales ou globales et de quelle variété sont-elles les cartes."

On se place dans un espace affine euclidien $\mathcal{E}$ de direction $E$. Nous nous donnons un repère cartésien orthonormé (c'est-à-dire un point $O$ de $\mathcal{E}$ et une base orthonormée $B$ de $E$) et notons $x$ et $y$ les coordonnées cartésienne du point noté $M(x,y)$. Ces coordonnées sont globales car nous avons besoin que d'une seule carte.

Concernant les coordonnées polaires $r$ et $\theta$ définies par $x = r\cos\theta$ et $=r\sin\theta$, elles sont locales et définies sur un ouvert $U$ de $\mathcal{E}$ qui est composé de tous les points de $\mathcal{E}$ sauf ceux qui se trouvent sur le pôle et l'axe polaire à savoir le demi-axe des $x$ positifs (non strictement), c'est-à-dire $U=\{M(x,y)\in\mathcal{E} \mid (x,y)\not\in ]0,+\infty[\times \{0\}\}$. Ainsi, les coordonnées polaires sont la carte $U\subset\mathcal{E}\to ]0,+\infty[\times]0,2\pi[\subset\mathbb{R}^2$.

D'autre part, comme la variété considérée est un espace affine, pour tout point $M\in\mathcal{E}$, l'espace tangent à $\mathcal{E}$ en $M$ noté $T_M\mathcal{E}$ est égale (ou isomorphe en fonction de la définition adoptée) à $E$. Contrairement aux coordonnées cartésiennes, les coordonnées polaires nous fournissent une base (orthogonale) de $E$ différente en chaque point qu'on va noter $B_\mathrm{pol}^M$.

Enfin, comme on s'est donné une origine $O$, l'espace $\mathcal{E}$ est isomorphe à $E$ en identifiant un point $M$ avec le vecteur $\vec{OM}$ et en suite une chose courante est d'exprimer ce vecteur dans la base $B_\mathrm{pol}^M$.

Est-ce une meilleure vision des choses ?

Merci par avance pour vos précieuses lumières.

Cordialement,
Mister Da

Edit : correction de "cartes" en "carte".

pappus · April 2019

Mon cher Mister Da
Tu es loin, très loin du compte!

Mister Da a écrit:

Ainsi, les coordonnées polaires sont la cartes $U\subset\mathcal{E}\to ]0,+\infty[\times]0,2\pi[\subset\mathbb{R}^2$.

Déjà du point de vue orthographique, il aurait fallu écrire la carte mais du point de vue mathématique,tu aurais dû écrire:
La carte $U\subset\mathcal{E}\to]0,+\infty[\times]0,2\pi[\subset\mathbb{R}^2$ définit un système de coordonnées polaires sur l'ouvert $U$.
C'est vrai mais insuffisant car il existe aussi bien d'autres cartes qu'il aurait fallu décrire ainsi que leurs changements de cartes.
Le théorème à utiliser et que tu n'as pas cité est le suivant:
Tout étalement injectif est un difféomorphisme, (version courte): c'est le théorème d'inversion globale!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Tu es trop obsédé par ces questions d'espace tangent.
Comme on travaille dans des ouverts d'espace vectoriel, ils sont triviaux aussi bien dans le sens commun du mot trivial que dans son sens mathématique.
Tu dois d'abord te concentrer sur la définition de ces cartes qui sont simplement des difféomorphismes entre ouverts d'espace vectoriel!

Mister Da · April 2019

Bonjour,

désolé pour la coquille, je vais la corriger.

Effectivement je suis obsédé par les espaces tangents (même triviaux) car je pensais que c'était ici que se terrait mon incompréhension mais visiblement je ne maitrise pas ce qu'il y a en amont.

Concernant ce que tu disais, je sais (enfin je pense savoir car maintenant je doute de tout) que la fonction construite est injective et $C^1$. Son jacobien étant $r>0$, il ne s'annule pas sur l'ouvert considéré et par le théorème d'inversion globale c'est un difféomorphisme mais je ne vois pas la chose intelligente que tu aurais aimé que je dise.

Pour éviter de te faire perdre ton temps et ta patience, pourrais-tu me recommander un livre ou un document qui présente tout cela pour un non mathématicien et surtout un non géomètre ? Soit je tombe sur des documents très appliqués qui présentent rapidement les coordonnées de manière ad hoc, soit je tombe sur des documents dont le niveau dépasse très largement le miens (ndlr : ce qui n'est pas bien difficile).

Merci pour ton aide.
Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Mon cher Mister Da
Traditionnellement les coordonnées polaires sont définies et étudiées en Taupe où on se soucie peu de l’aspect coordonnées locales qu’elles impliquent. A tout hasard, regarde ce qu’on en dit dans les ouvrages préparant au CAPES ou à l’Agrégation.
Ce que je voudrais que tu fasses est d’exhiber les autres cartes du même genre que celle que tu nous as décrite ainsi que leurs changements de cartes.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · April 2019

Bonjour,

merci.

En attendant de passer à la bibliothèque j'essaye de proposer un bout de réponse.
En considérant uniquement des rayons positifs, je propose les cartes suivantes
$\varphi_i\colon U_i\subset\mathcal{E}\to]r_i,R_i[\times]t_i,T_i[\subset\mathbb{R}^2$ avec $0<r_i\leq R_i$ et $T_i-t_i<2\pi$ définit un système de coordonnées polaires sur l'ouvert $U_i$.

Ensuite, si $U_i\cap U_j \neq \emptyset $, pour décrire pour écrire le changement de carte $\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}\colon (\rho_j,\theta_j)\mapsto (\rho_i,\theta_i)$, on a $\rho_j = \rho_i$ et pour les angles c'est plus subtile car on peut avoir une ou deux composantes connexes. Pour cela, pour tout réel $x$ je note $0\leq\tilde{x}\leq 2\pi$ l'unique réel tel que $\tilde{x}\equiv x \mod 2\pi$. On peut avoir le cas $\tilde{t}_j<\tilde{T}_i$ et/ou $\tilde{t}_i<\tilde{T}_j$ et il faut faire correctement la correspondance des angles, mais j'avoue sécher sur une écriture simple.

Est-ce que c'est une réponse dans ce goût là que tu attendais de moi ?

Encore merci pour le temps que tu me consacres.
Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Mon cher Mister Da
Si $U_T$ est l'ouvert complémentaire dans le plan de la demi-droite de la figure, je pensais à la carte:
$$\varphi_T:U_T\longmapsto ]0,\infty[\times]T,T+2\pi[$$
Je te demande d'évaluer le changement de cartes: $\varphi_{T'}\circ\varphi_T^{-1}$
Amicalement
[small]p[/small]appus 85670

Mister Da · April 2019

Bonjour,

désolé j'avais compris que tu me demandais de lister toutes les cartes...

Bref. Je tente une réponse mais je n'arrive pas à faire le cas pour $T$ et $T'$ quelconque (j'ai des minimums, maximums et des modulos qui fleurissent partout et qui contrarient mes rares synapses qui sont encore en état de marche). Pour le moment j'ai considérablement simplifié ta question en supposant que $0<T<T'<2\pi$.
Dans ce cas j'ai trouvé :
$$
\varphi_{T'}\circ\varphi_T^{-1}\colon\theta\mapsto \left\{\begin{array}{ll}\theta & \text{si } \theta\in]T',T+2\pi[~;\\\theta+2\pi & \text{si } \theta\in]T,T'[.\\\end{array}\right.
$$

Est-ce qu'il y a un fond de vérité ?

Autrement, je me suis procuré une bible : Géométrie Tome 1 de Marcel Berger. Ca m'a bien confirmé que je n'y connaissais vraiment pas grand chose en géométrie mais je n'ai pas encore trouvé de choses qui se rapproche de mon obsession tangentielle ni de coordonnées locales.

Sincèrement merci pour toute l'aide que tu m'apportes.
Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Mon cher Mister Da
Nos préoccupations sont plus de l'ordre de la théorie des variétés que de celui de la géométrie.
Regarde dans des ouvrages moins spécialisés.
Peut-être le Tauvel pour la préparation à l'agrégation interne mais je suis encore loin de mes bases pour plus d'une semaine!
Les changements de cartes sont effectivement des restrictions de translations mais cela est loin d'être clair dans ta tête!
Pourquoi supposer $0<T<T'<2\pi$?
C'est un peu une capitulation en rase campagne?
Ces cartes $\varphi_T$ forment un atlas mais de quelle variété et que montrent elles sur cette variété?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · April 2019

Bonjour,

je me risque, pour $T'$ et $T$ fixés quelconques, je prends l'unique couple $(\alpha,k)\in[0,2\pi[\times\mathbb{Z}$ tel que $T' = T + \alpha + 2k\pi$. Ainsi (j'ai rajouté $r$, car même s'il n'intervient pas dans la discussion, ce n'est pas une raison pour l'oublier)
$$
\varphi_{T'}\circ\varphi_T^{-1}\colon(r,\theta)\mapsto \left\{\begin{array}{ll} (r,\theta) & \text{si } \theta\in]T+\alpha,T+2\pi[~;\\(r,\theta+2\pi) & \text{si } \theta\in]T,T+\alpha [.\\\end{array}\right.
$$
Je suis tenté de dire que ces cartes forment un atlas du plan affine privé de son origine bien que je m'attende à recevoir une volée de bois vert.

"Que montrent elles sur cette variété"
Quand le sage désigne la lune, l'idiot regarde le doigt. Je ne vois pas du tout quoi dire.

Merci pour la référence, je vais voir si je la trouve.
Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Bonne Nuit Mister Da et fais de beaux rêves.
Un petit coup de pouce et il ne reste plus qu'à faire le baratin assez délicat idoine!
Amicalement
[small]p[/small]appus 85700

Mister Da · April 2019

Bonjour,

pour les beaux rêves je vais attendre car cette nuit j'ai réalisé que mon usine à gaz fuyait...

La bonne nouvelle (on se console avec ce qu'on a) c'est que j'avais fait le même dessin que toi mais bon je suis toujours aussi laborieux. Je revois ma copie.

Soient $T$ et $T'$ deux réels. On note $t'$ l'unique réel appartenant à l'intervalle $[T,T+2\pi[$ tel que $t' \equiv T' \mod 2\pi$. La transition entre les deux cartes est donnée par
$$
\varphi_{T'}\circ\varphi_T^{-1}\colon(r,\theta)\mapsto \left\{\begin{array}{ll} (r,\theta+T'-t'+2\pi) & \text{si } \theta\in]T,t'[~;\\(r,\theta+T'-t') & \text{si } \theta\in]t',T+2\pi[.\\\end{array}\right.
$$
Bref, c'est au forceps mais je pense que cette fois-ci c'est enfin bon.

Du coup, en supposant $T\not\equiv T'\mod2\pi$, je suis bien tenté de dire que (les ouverts $U_T$ et $U_{T'}$ formant alors un recouvrement du plan affine privé de son origine) les deux cartes $\varphi_T$ et $\varphi_{T'}$ forment un atlas du plan affine privé de son origine.

Merci beaucoup pour ton aide et ta patience.
Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Merci Mister Da
C’est pratiquement bon!
Un petit point de détail irritant!
Calculer $t$ et $t’$ en fonction de $T$ et $T’$!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · April 2019

Bonjour,

merci à toi. Ça fait plaisir de voir enfin un peu de lumière au bout du (premier) tunnel.

Par définition de $t'$, il existe un entier $k$ tel que $t' = T'+2k\pi$. D'autre part on a la relation $t+t' = T+T'+2\pi$. J'arrive donc à dire que $t = T-2(k-1)\pi$. Mais je n'arrive pas à aller plus loin pour l'instant.

Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Merci Mister Da
On a de plus: $T'<t<T'+2\pi$ et $T<t'<T+2\pi$
Ca devrait aider!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · April 2019

Bonjour,

bon...bah... je ne vois vraiment pas plus loin que le bout de mon nez. Voilà deux heures que je tourne en rond dans mon bocal à enfoncer des portes toutes plus ouvertes les unes que les autres si bien que je ne sais plus ce que je dois faire.

On est bien d'accord que le but du jeu est d'exprimer $t$ en fonction de $T$ et $T'$ et d'exprimer $t'$ également en fonction de $T$ et $T'$ et de faire disparaitre $k$ !?

Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Mon cher Mister Da
Non pas de faire disparaître $k$ mais plutôt de le calculer en fonction de $T$ et $T'$!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · April 2019

Bonjour,

je trouve $k=E\left(\frac{T-T'}{2\pi}\right) + 1$ où $E$ désigne la partie entière.

Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Merci Mister Da
Oui!
Tu vois que ce n'est pas si difficile que cela de calculer explicitement un changement de cartes.
Maintenant comme tu l'as dit on obtient un atlas du plan privé d'un point.
Quel renseignement cet atlas donne-t-il sur cette variété?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · April 2019

Bonjour,

oui effectivement, j'ai eu l'art de m'enliser tout seul comme un grand en cherchant systématique des choses inutilement compliquées. Bref ce fut très laborieux, merci de ne pas m'avoir abandonné le long du chemin.

Par contre, depuis le début j'ai du mal à comprendre cette question. Cet atlas nous dit que l'on a une variété de dimension $2$ et que deux cartes suffisent. Mais j'imagine que ce n'est pas ça le plus intéressant...

Cordialement,
Mister Da

pappus · April 2019

Mon cher Mister Da
On est face à une décomposition en produit direct: $\mathbb R^*_+\times \mathbb S^1$
Reconnaître un produit direct, c'est la moindre des choses!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mister Da · April 2019

Bonjour,

certes, je manque à toutes mes obligations !

Un immense merci pour ta précieuse aide, j'ai compris plein de choses. Je vais mettre au propre cette discussion dans mon cahier. Si je vois des trous que je n'arrive pas à combler il est probable que je me permette de relancer cette discussion mais a priori ça devrait être bon.

Cordialement,
Mister Da

Mister Da · May 2019

Bonjour Pappus,

il y a quelques temps tu m'avais très généreusement donné le chapitre "Opérateurs différentiels en coordonnées curvilignes" qui m'avait énormément aidé à l'époque.

Suite à la discussion que nous venons d'avoir sur les coordonnées polaires, je l'ai relu une nouvelle fois pendant ton absence du forum. A la lumière de ton texte je viens de faire une tentative d'interprétation de la jacobienne, de la matrice de Gram etc à la sauce géométrie différentielle de la transformation polaire/cartésien.

Même quand les espaces étaient les mêmes je les ai distingués. J'ai sans doute fait lourd et très compliqué pour quelque chose d'apparence simple, mais il n'y a que comme ça que j'ai l'impression de fondamentalement comprendre le gradient en coordonnées polaires (et curvilignes de manière générale). Mon cerveau est toujours aussi laborieux. En bref, je t'ai paraphrasé en moins bien et j'ai juste défini un produit scalaire de manière un peu différente pour avoir une interprétation simple. En gros tout mon baratin revient à trouver une interprétation de l'équation

$$
\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -r\sin\theta \\\sin\theta&r\cos\theta\\\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 1&0\\0&r^2\\\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -r\sin\theta \\\sin\theta&r\cos\theta\\\end{array}\right]^T.
$$

J'aurais bien aimé avoir ton regard sur ma modeste prose. J'ai essayé de mettre le message sur le forum mais il y a des erreurs latex obscures. Je l'ai mis sous forme d'un pdf joint à ce message. Si tu pouvais me consacrer encore un peu de temps je serais enchanté d'avoir tes commentaires.

Par avance je te remercie.

Cordialement,
Mister Da

Espace affine

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