Carré en perspective

Bonjour
Non seulement la question de Libellule est floue mais elle est hors programme puisque la géométrie projective a définitivement disparu de la circulation. En plus on sait bien qu'on ne pourra échapper à des techniques de géométrie descriptive ou cotée comme je l'ai cent fois dit.
Essayons de traiter un cas beaucoup beaucoup plus simple sur le même sujet.
Mais quand je dis beaucoup beaucoup plus simple, je m'avance peut-être un peu!
A-t-on encore les moyens aujourd'hui de faire ce minuscule exercice?
La figure ci-dessous montre la perspective d'un carré $ABCD$ à partir d'un point $O$ de son cercle circonscrit $\Gamma$ sur une droite $D$ quelconque de son plan.
On oublie le cercle et tout ce qui se trouve dessus et on ne connait que les points de projection $a$, $b$, $c$.
Où se trouve le point $d$?
Un élève de Seconde d'autrefois pouvait répondre à cette épouvantable question!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Non mon cher Gerard0
Regarde le Lebossé-Hémery de Seconde, tu verras qu'on y voyait les divisions et les faisceaux harmoniques.
Voici l'argument qu'aurait pu sortir un bon élève des Humanités de l'époque.
Les points $A$ et $C\ $ sont diamétralement opposés, donc $\widehat{AOC}=100gr$, est-ce encore enseigné aujourd'hui?
De plus les points $B$ et $D$ sont les milieux des deux arcs $AC$, bicauze le carré.
Donc les droites $OB$ et $OD$ sont les bissectrices de l'angle $\widehat{AOC}$ bicauze le théorème de l'angle inscrit, est-ce encore enseigné aujourd'hui?
Donc on a un faisceau de droites $(OA,OC)$ et leurs bissectrices $(OB,OD)$.
On a donc un faisceau harmonique $(OA,OC,OB,OD)=-1$, alors ça c'est sûr, ce n'est plus enseigné aujourd'hui et ce n'est pas la peine d'aller plus loin.
Conclusion
Aujourd'hui on est infoutu de projeter un carré sur une droite et a fortiori sur un plan!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Pappus
Pour un élève de seconde de jadis peut-être un peu plus performant que le tien.
$ABCD$ est maintenant un rectangle, $O$ est toujours un point de son cercle circonscrit et on ne connait que les points $a,b,c,d$ où les droites $OA,OB,OC,OD$ coupent une droite $L$. Quel est le rapport des longueurs des côtés du rectangle?
Amicalement. Poulbot

Bonjour. Du concret pour Libellule.

On dessine un carré et ses 4 axes de symétrie (jaune, en haut).
On trace les 3 droites noires (en gras).
On continue avec les traitillés.

En jaune, en bas : deux dalles carrées.

Une double-ligne sépare la construction en deux demi-plans.
Le demi-plan supérieur est horizontal et contient le dessin plan
dont on cherche la perspective. Je n'ai pas représenté ce dessin
afin de mettre en évidence la construction des points de fuite.

A ce stade le demi-plan contenant la perspective est vertical et se projette
sur la double-ligne. Le centre du carré jaune est la projection verticale
de l'œil de l'observateur. S'il regarde dans une direction horizontale,
la demi-droite matérialisant cette direction frappe le plan de la perspective
au point de fuite correspondant à cette direction.

On rabat ensuite le demi-plan de la perspective autour de la ligne d'horizon,
plaçant la perspective sous l'axe du rabattement.

J'aurais dû choisir deux couleurs différentes pour éviter de suggérer
que les dalles d'en bas sont une perspective du carré d'en haut.
Mes excuses...

Mon cher Poulbot
Avec les mêmes notations pour le rectangle $ABCD$, on devrait avoir:$(a,c,b,d)=-r^2$ où $r$ est un rapport des côtés, l'autre étant $\frac 1r$, ce qui généralise le cas du carré où $r=1$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Il me semble que le problème (mal) posé peut se reformuler ainsi : un carré ABCD d'un plan P est représenté en perspective. On représente aussi deux points A' et B' du plan P. Compléter la représentation du carré A'B'C'D'.
Ça peut se faire en construisant l'homographie sur la droite de l'infini du plan P induite par la rotation d'un huitième de tour. On peut le faire comme composition de la projection de centre A sur la droite BD, suivie d'une homographie d'axe CD qui ramène sur la droite de l'infini.
Je ferai éventuellement un protocole de construction GeoGebra qui réalise ce procédé.

Merci GaBuZoMeu
Je me demande si tu ne rejoins pas certaines préoccupations d'Yvon_M dans le fil qu'il a initié:
Correction de perspective.
En gros on a une photo d'un carré, qu'est-ce qu'on peut dire de la photo?
Est-ce que la connaissance des points $A'$ et $B'$ suffit pour dire où sont les points $C'$ et $D'$ sur la photo?
Est-ce cela le sens de ta question?
Ou bien ce qui est plus probable, je n'ai rien compris de ce que tu as dis comme d'habitude!
Amicalement
[small]p[/small]appus

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