Intersection de deux sphères

bulledesavon
bulledesavon
dans Géométrie
Bonjour,

Comment montre-t-on que le centre du cercle d'intersection de deux sphères est le point d'intersection du plan radical et de la droite passant par les centres des deux sphères ?

Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    On peut peut-être choisir un plan arbitraire passant par les deux centres.
    Puis raisonner en problème « plan ».

    Je réfléchis si je ne dis pas une bêtise...
  • Bruno
    Bruno
    Le centre de tout cercle contenu dans une sphère appartient au plan du cercle et à la perpendiculaire issue du centre de la sphère à son plan ; donc le centre du cercle d’intersection de deux sphères appartient à la droite des centres de celles-ci (qui sont distincts, sinon, il n'y a plus de cercle d'intersection). et bien entendu, le cercle est contenu dans le plan radical des deux sphères.

    Bruno
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Bruno comment montre-t-on que le centre du cercle et sur la perpendiculaire au plan du cercle passant par le centre de la sphère ?
  • gerard0
    gerard0
    Les points du cercle sont à égale distance du centre de la sphère. + définition de " droite perpendiculaire à un plan"

    Une autre question à se poser est "pourquoi l'intersection de deux sphères est une courbe plane ?".

    Cordialement.
  • Math Coss
    Math Coss
    Une raison possible : parce que les parties quadratiques des équations des deux sphères, $x^2+y^2+z^2$, sont égales.
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement.

    Mais il y a des preuves en géométrie élémentaire. Je signalais ceci à Bulledesavon parce qu'il tenait ce fait pour acquis, mais pas que le centre d'un cercle de la sphère est le projeté du centre de la sphère sur le plan du cercle.

    Cordialement.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    J'ai trouvé sur ce forum ici une démonstration du fait que l'intersection d'une sphère et d'un plan est un cercle dont le centre est sur la perpendiculaire au plan contenant le cercle et passant par le centre de la sphère.

    Cette preuve est la suivante : On suppose que le plan P et la sphère S s'intersectent. On montre que cette intersection est un cercle.
    On considère la perpendiculaire d au plan P passant par le centre O de la sphère. On note I le point d'intersection de d et de P. On a supposé que P et S avaient une intersection donc on peut considérer un point A dans cette intersection. On considère à présent un point quelconque B dans cette intersection. OA=OB puisque A et B sont sur S. (AI) perpendiculaire à (OI) puisque (OI) perpendiculaire à P. De même (BI) perpendiculaire à (OI). Donc les triangles OAI et OBI sont rectangles en I, ont un côté commun OI et OA=OB. Donc en utilisant le théorème de pythagore on obtient que AI=BI. Comme B est quelconque, tous les points de l'intersection sont à égale distance du point I (R=AI), donc tous ces points sont sur un cercle de centre I.
    Par ailleurs si on prend un point M de ce cercle, il appartient au plan P (puisque le centre I et le point A du cercle appartiennent à P) et comme OM^2=R^2+OI^2=OA^2 donc M est sur la sphère.
    Ainsi l'intersection de P et S est exactement un cercle donc le centre est sur la perpendiculaire à P passant par O.
  • bulledesavon
    bulledesavon
    Considérons la sphère S1 de centre O1 et de rayon R1 et la sphère S2 de centre O2 et de rayon R2 tels que O1 différent de O2 et R1+R2>O1O2. Prenons pour acquis qu'alors les deux sphères s'interceptent selon un cercle C de centre I et de rayon r.

    Considérons le plan P contenant le cercle C et montrons que I est le point d'intersection du plan P et de la droite (O1O2).

    L'intersection de S1 avec P est le cercle C donc (O1I) est perpendiculaire à P.
    L'intersection de S2 avec P est le cercle C donc (O2I) est perpendiculaire à P.
    Donc (O1I)=(O2I) (puisqu'il n'existe qu'une seule perpendiculaire à P passant par I) donc O1, I, O2 sont alignés donc I appartient à (O1O2). Donc I est le point d'intersection de P avec (O1O2).
  • callipiger
    callipiger
    Bonsoir, je voudrais savoir si on arrive à la solution du problème posé en prenant la voix suivante:

    pour chacune des sphères , toutes les droites passant par le centre des sphères sont des axes de rotations qui conservent globalement chaque sphère.
    C'est deux familles de droites n'ont qu'une droite en commun: ça en fait l'axe des rotations qui conservent globalement les deux sphères.
    On en déduit ( j'en suis convaincu mais est-ce une preuve acceptable quand on l'écrit sur une copie? tel quel) que l'intersection des deux sphères si il n'est pas vide est globalement invariant par toutes les rotations : c'est une réunion de cercles situés sur des plans perpendiculaires à l'axe.
    Prenons un demi-plan supporté par l'axe en question: les deux sphères intersectent ce plan selon deux demi-cercles qui n'auront que 1 point d'intersection au plus (sinon les deux sphères initiales sont confondues et c'est pas intéressant).
    Au final l'intersection des deux sphères est un cercle supporté par un plan perpendiculaire à l'axe des rotations qui laissent globalement invariantes les deux sphères.

    Ça tient la route ou pas ?
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour callwhisky, ton raisonnement tient parfaitement la route, bravo ! Tu sembles douter de l'invariance de l’intersection des sphères par rotation autour de la droite des centres $\Delta$ (excuse-moi mais à 76 ans j'ai gardé le vocabulaire en vigueur jusqu'en 1970 ;-)) tu prends un point $M$ de cette courbe et tu lui appliques une rotation $r$ d'axe $\Delta$ ; comme $M$ appartient à la sphère $S$ et que celle-ci est invariante par $r$ ; le point $r(M)$ appartient également à $S$ ! Donc ce point appartient à l'intersection des deux sphères.

    Cordialement, Bruno
  • callipiger
    callipiger
    Bonjour Bruno, (en réalité je doute de tout de façon quasi systématique)
    j'essaye de profiter au maximum des propriétés de symétries de la sphère

    je m'occupe de l'intersection de 2 objets
    si l'on connaît l'ensemble des transformations qui conservent l'objet 1 et que l'on note A cet ensemble
    si l'on connaît l'ensemble des transformations qui conservent l'objet 2 et que l'on note B cet ensemble
    est-ce que l'intersection deux Objets 1 et 2 est invariant par les transformations communes aux ensembles A et B.

    Dans le cas de l'intersection de deux sphères, on peut s'en sortir à la main, mais est ce vrai en général ?
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