Hyperbole trisectrice
Bonjour,
J'ai trouvé à l'aide de GGB une construction simple d'une hyperbole trisectrice équilatère :
(C1) cercle unité
E milieu de OA, F celui de OB,
(C2) cercle de centre O passant par E et F,
(Oy) coupe (C2) en G et H,
(C3) cercle de centre H passant par E et F.
M point variable sur (C1),
(OM) coupe (C2) en K,
(GK) coupe (C3) en F1 et F2.
L'hyperbole de foyers F1 et F2 qui passe par O coupe (C1) en 4 points,
3 d'entres eux vérifient 3 (OB, OX) = (OB, OM).
J'ai fais en sorte que le point "tiers" soit celui situé sur l'arc BM.
Je n'ai aucune preuve de cette construction (je l'ai obtenue grâce à l'outil lieu).
Comment peut-on la prouver de façon simple ?
Et quelle est l'équation de cette hyperbole ?
En vous remerciant
J'ai trouvé à l'aide de GGB une construction simple d'une hyperbole trisectrice équilatère :
(C1) cercle unité
E milieu de OA, F celui de OB,
(C2) cercle de centre O passant par E et F,
(Oy) coupe (C2) en G et H,
(C3) cercle de centre H passant par E et F.
M point variable sur (C1),
(OM) coupe (C2) en K,
(GK) coupe (C3) en F1 et F2.
L'hyperbole de foyers F1 et F2 qui passe par O coupe (C1) en 4 points,
3 d'entres eux vérifient 3 (OB, OX) = (OB, OM).
J'ai fais en sorte que le point "tiers" soit celui situé sur l'arc BM.
Je n'ai aucune preuve de cette construction (je l'ai obtenue grâce à l'outil lieu).
Comment peut-on la prouver de façon simple ?
Et quelle est l'équation de cette hyperbole ?
En vous remerciant
Réponses
-
Bonjour ,
cette construction a aussi été proposée sur GeoGebra le :
- 17 décembre 2018 - 09:55 par mrini1957
- 17 décembre 2018 - 18:22 par rousseau-wallon
Cordialement -
oui,
rousseau-wallon c'est moi
(mrini1957 a dupliqué mon premier post)
sinon vous pouvez m'aider ? -
Bonjour
Une possibilité qui me semble bien plus simple :
$M^{\prime }$ est le symétrique de $M$ par rapport à $AB$ et $\Omega $ le milieu de $\left[ OM^{\prime }\right] $.
L'hyperbole équilatère de centre $\Omega $ passant par $O$ et par le point à l'infini de $AB$ coupe le cercle en $M^{\prime }$ et aux $3$ sommets d'un triangle équilatéral.
Pour chaque sommet $N$ de ce triangle équilatéral on a $\left( OB,OM\right) =3\left( OB,ON\right) $.
Remarque : cette hyperbole est tangente en $O$ à $OM$.
Bien cordialement. Poulbot -
plus simple ça dépend car tu n'as pas ses foyers
de plus il me semble que dans ta figure
ce sont les symétriques de N par rapport à O qui donnent le tiers angulaire,
et non pas les points N
quoi qu'il en soit, comment fait-on pour démontrer ce résultat ? -
Bonsoir Ludwig
Construire une hyperbole connaissant ses asymptotes et un de ses points est très simple. Nul besoin des foyers.
J'ai utilisé la notation standard $\left( D,D^{\prime }\right) $ d'un angle orienté de droites.
Cela se montre, par exemple, en paramétrant le cercle par $t\rightarrow \left( \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right) $ et en utilisant les relations entre les coefficients et les racines d'une équation du troisième degré pour montrer que l'on a affaire à un triangle équilatéral.
Bien cordialement. Poulbot -
Re-bonsoir
Très brièvement et en squeezant la partie qui consisterait à découvrir cette hyperbole, contentons-nous de vérifier le résultat que j'ai énoncé.
Paramétrons le cercle par $t\rightarrow f\left( t\right) =\left( \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\dfrac{2t}{1+t^{2}}\right) $.
Si $M=f\left( m\right) =\left( x_{0},y_{0}\right) $, l'hyperbole a pour équation $2xy+y_{0}x-x_{0}y=0$, soit $2\left( m^{2}+1\right) xy+2mx+\left( m^{2}-1\right) y=0$.
$f\left( t\right) $ est sur l'hyperbole si $\left( t+m\right) \left( mt^{3}+3t^{2}-3mt-1\right) =0$.
Si $N=f\left( t\right) $ où $mt^{3}+3t^{2}-3mt-1=0$, on a $\left( \overrightarrow{OB},\overrightarrow{ON}\right) =\theta $ avec $t=\tan \dfrac{\theta }{2}$. D'où $\tan \dfrac{3\theta }{2}=\dfrac{t^{3}-3t}{3t^{2}-1}=-\dfrac{1}{m}$ et $\tan 3\left( OB,ON\right) =\dfrac{2m}{1-m^{2}}=\tan \left( OB,OM\right) $.
Bien cordialement. Poulbot -
ok pour les angles orientés de droites
et pour ta démonstration, dont j'ai vérifié les calculs
j'ai mis du temps d'ailleurs, tan(3x), tan (2x), c'était rendu lojn ...
merci bcp Poulbot -
(on peut prendre la symétrique de ton hyperbole par rapport à O,
c'est à dire celle d'équation $2xy-y_{0}x+x_{0}y=0$,
et alors les tiers angulaires sont ses intersections avec le cercle unité)
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Bonjour!
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