Métrique sur l'espace projectif

Bonjour,
j'ai quelques questions sur un exercice.
1) Montrer que $P^n (\mathbb{R})$ l'espace projectif réel est difféomorphe au quotient de $S^n$ par l'action du groupe $G=\left\{ Id_{n+1} , -Id_{n+1}\right\}$.
2) Montrer que l'application d'antipodie \begin{array}{l|rcl}
A : & \ S^n & \longrightarrow & \ S^n \\
& x & \longmapsto & -x
\end{array} est une isométrie de la sphère $S^n$. En déduire une métrique sur l'espace projectif $P^n (\mathbb{R})$ telle que la projection
$ P : S^n \rightarrow P^n (\mathbb{R})$ soit une isométrie. Déterminer la distance entre les hyperplans $x=y$ et $x=y-z$.

- Pour la question 1) je sais que le groupe $G$ agit proprement et continuement à gauche sur $S^n$ alors $ P : S^n \rightarrow P^n (\mathbb{R})$ est un revêtement. mais comment montrer le difféo ?
- Pour la question 2) $A$ est un difféo, il reste à montrer que $ g_x(u,v) =g_{A(x)} (T_x A.u, T_x A.v) $ avec $T_x$ la différentielle au point $x$ et $g$ ma métrique sur $S^n$.
$g_{A(x)} (T_p A.u, T_p A. v)= g_{A(x)} (- u, - v)=g_{A(x)} (u, v) =g_{x} (u, v) $ ??? Pour le reste je n'ai pas d'idée, merci d'avance pour votre aide.