Calcul dimensionnement d'une yourte

cordiste · April 2019

Bonjour
Je cherche à valider par le calcul les dimensions et les assemblages des perches du toit de ma yourte.

Voici les données.
Diamètre de la yourte : 500 cm
Diamètre du tonoo (ouverture au centre de la toiture) : 90 cm
Pente du toit : 22°
Nombre de perches : 24
L'assemblage des perches entre elles est représenté sur le schéma ci-dessous.

Mes questions sont donc les suivantes.
Comment déterminer la longueur des perches du toit ?
Comment déterminer l'emplacement des assemblages ?
Cordialement. 85904

cordiste · April 2019

En complément d'information, la structure de ma yourte ressemble à celle-ci. 85912

marsup · April 2019

Bonjour,

Chouette projet.

Je regarde la projection sur le sol.

Si je comprends bien, l'idée c'est que les perches soient tangentes au tonoo.

Pour ça, on utilise la notion de puissance d'un point par rapport au cercle. https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_d'un_point_par_rapport_à_un_cercle#Propriété_fondamentale_et_définition

La puissance est $P=(2.5m-.45m)\times(2.5m+.45m)=6.04 m^2$.
La longueur projetée des perches est donc : $L_{proj} = \sqrt{P}=2.46m$.
Pour obtenir la vraie longueur des perches, on "déprojette"
$L_{proj} = L_{vraie} \times \underbrace{\cos(\alpha)}_{0,927}$, où $\alpha = 22^\circ$.
On trouve donc : $L_{vraie} = \frac{1}{\cos(\alpha)} \cdot L_{proj} =
\fbox{2.65m}$.

marsup · April 2019

J'ai fait une petite erreur de raisonnement pour déprojeter, car l'angle des perches est un petit peu moins fort que l'angle du toit.

Du coup voici :
surélévation du contact tonoo-perche par rapport à la base du toit.
$h = \tan(\alpha) \times (2.5m-.45m) = 0,83m$.

On conclut sur la longueur de la perche par Pythagore :
$L_{vraie}^2 = L_{proj}^2 + h^2=6,72m^2$
d'où enfin : $L_{vraie} = \fbox{2,59m}$.

GaBuZoMeu · April 2019

Hum, je ne vois pas vraiment que les perches soient tangentes au cercle intérieur, et par ailleurs la pente des perches n'est pas la pente du toit.
La notion de "pente du toit" n'est d'ailleurs pas très précise, vu que le toit est un tronc d'hyperboloïde de révolution à une nappe (les perches faisant partyie des deux systèmes de droites sur cet hyperboloïde).
Sur la photo, on voit 12 perches dans un système et douze perches dans l'autre. les 24 points de départ des perches semblent régulièrement disposés sur le grand cercle du bas. Supposons que les points d'arrivée des perches sont aussi régulièrement disposés sur le petit cercle du haut. Il semble aussi (schéma du haut) que chaque perche d'un système coupe quatre perches de l'autre système.
Un système correspond donc à une rotation de 60° dans un sens l'autre système à une rotation de 60° dans l'autre sens. La projection horizontale d'une perche est donc
$$\sqrt{\left(250-45\times \frac12\right)^2 + \left(45\times \frac{\sqrt3}2\right)^2}\:.$$
Quant à la projection verticale d'une perche, c'est la différence de hauteur entre le cercle du haut et le cercle du bas. Puisque la pente est 22%, c'est donc
$$22\%\times (250-45)\;.$$

PS. Je vois en postant que marsup a corrigé son erreur à propos de la pente.

PPS. Normalement, c'était une question pour Pappus, le grand spécialiste des yourtes. Son silence m'inquiète.

marsup · April 2019

Je pense que le toit d'une yourte est forcément conique, car c'est du tissu ou de l'aggloméré, ou autre chose, mais sans courbure, car tissé à plat.

Pour la pente, ou l'angle, effectivement, c'est sujet à interprétation.

Gabuzomeu utilise au choix :

arctan(.22) = 12.4 degrés d'angle
arcsin(.22) = 12.7 degrés d'angle

Moi, je prends presque deux fois plus (un angle de 22 degrés !)

depasse · April 2019

Bonsoir,

j'ai du mal à voir dans l'espace.

Les points a, b, c et d sont les projections sur le sol de points A, B, C et D. En général, ce n'est pas parce que a, b, c et d sont alignés que A, B, C et D le sont. Mais ici A, B, C et D semblent être les points d'intersection ( d'assemblage) de la perche dont la projection au sol est rouge et de quatre perches dont la projection au sol est bleue. A, B, C et D seraient donc alignés. Si les $P_,i$ sont les perches à projection bleue et $R$ celle à projection rouge, $R$ appartient à chacun des trois plans $(A,P_2), (A,P_3), (A,P_4)$.
$P_2, P_3, P_4$ sont deux à deux non-coplanaires et donc $(A,P_2), (A,P_3), (A,P_4)$ deux à deux distincts. $R$ est donc leur intersection; je ne me la représente pas! :-S

Un coup de main, ou plutôt un coup d'oeil!

Merci

Cordialement

Paul

GaBuZoMeu · April 2019

1°) marsup a raison sur un point, je me suis trompé pour la pente, j'ai lu 22% au lieu de 22°. Sans doute parce que, normalement, une pente n'est pas un angle. Bon, ça se corrige facilement : la projection verticale d'une perche est
$$\tan(22^\circ)\times (250-45)\;.$$

2°) marsup a tort sur la forme du toit : si les perches sont droites et rigides, le toit est bien un segment d'hyperboloïde (qui peut ne pas être très éloigné d'un segment de cône) ! C'est le treillis qui veut ça. D'ailleurs, il n'y a qu'à regarder ce qui se passe pour le mur latéral de la yourte : on voit bien un segment d'hyperboloïde, et pas un cylindre.

3°) Paul semble avoir du mal à visualiser que le plan tangent à l'hyperboloïde à une nappe varie le long d'une génératrice. Peut-être verra-t-il mieux en se reportant à la page de mathcurve ?

4°) Enfin, pour la position des points $a,b,c,d$, ils partagent la perche dans les proportions $(45\,\sin(\alpha/2), 250\,\sin(60^\circ-\alpha/2))$ où $\alpha$ vaut respectivement $15^\circ,\; 45^\circ,\; 75^\circ,\; 105^\circ$.

marsup · April 2019

Ah bah je te remercie, GBZM, pour la classe avec laquelle tu me parles, toujours un plaisir !

J'ai bien compris que les perches forment un hyperboloïde de révolution à une nappe (comme le radiateur d'une centrale thermique), qui est une surface reglée (et pour la même raison)

Ma remarque portait sur le toit posé au dessus, en authentique matériau de la réalité véritable, et qu'à un moment donné, il va bien falloir construire : je pense que celui-ci sera construit de forme conique (de courbure nulle).

Après, du coup, les perches ne longeront pas le toit, et seulement au fil du temps, le tissu se déformera et épousera la forme de l'hyperboloïde. (ce serait intéressant de donner un ordre de grandeur de la distance entre les perches et le toit conique posé dessus.)

GaBuZoMeu · April 2019

Des nombres : la longueur de la perche est 245,2cm. Les trous a,b,c,d sont situés respectivement à 7cm, 24,9cm, 54,6cm et 128,1cm de l'extrémité supérieure de la perche.

depasse · April 2019

Grand merci GBMZ pour cet éclairage, que dis-je, cet éblouissement!

Paul

cordiste · April 2019

(tu) Merci pour vos réponses. Je vais pouvoir avancer plus sereinement sur mon projet.

Pour ceux qui souhaite découvrir la structure pliante de cette yourte, elle est visible sur cette vidéo

cordiste · April 2019

A la relecture de vos réponses, je suis un peu confus.

Pour la longueur des perches du toit :

J'étais parti avant d'ouvrir le sujet sur 2.65 m :

L = Racine carrée(R_yourte² - R_Tonoo²) / cos (angle_toiture)

Valeur confirmée puis affinée à 2.59m par Marsup dans ses 2 premières réponses mais GaBuZoMeu propose 245.2m.

Qui peut m'expliquer ces différences ?

Pour la position des assemblages :

GaBuZoMeu avec tes informations, je n'arrive pas à les recalculer.

Le diamètre de ma yourte et du tonoo ainsi que le nombre de perches du toit pourrait être amené à varié... Je cherche donc à pourvoir calculer la longueur de ces perches et la position des assemblages en fonction de ces paramètres.

Merci pour vos bouillonnements :-)

GaBuZoMeu · April 2019

Bonjour,

Un petit code en Sage (mais c'est essentiellement du python)

# paramètres :
# R rayon du grand cercle
# r rayon du petit cercle
# p angle de pente du toit (en degrés)
# n nombre de perches de chaque système
# c nombre de croisements d'une perche d'un système
# avec les perches de l'autre système

def Dimyourte(R,r,p,n,c) :
    h = (R-r)*tan(p*pi/180) # hauteur du toit
    a = pi/n 
    x = R -r*cos(c*a) ; y = r*sin(c*a)
    l = sqrt(x^2+y^2+h^2) # longueur d'une perche
    L = [] # distances des points de croisement à l'extrémité
    for k in range(c) :
        b = (2*k+1)*a/2
        s = r*sin(b)
        t = R*sin(c*a-b)
        L.append((l*s/(s+t)).n(15))
    return l.n(15),L

Avec ça on peut s'amuser :
Dimyourte(250,45,22,12,4) : (245.2, [7.055, 24.93, 54.58, 128.1])
Dimyourte(250,45,22,10,4) : (253.8, [7.775, 26.30, 55.58, 128.5])
Dimyourte(250,45,22,12,5) : (256.0, [6.351, 20.46, 39.06, 69.58, 143.4])

GaBuZoMeu · April 2019

Je reviens sur la distance entre l'hyperboloïde de révolution et le tronc de cône. On peut voir sur le dessin ci dessous (en coupe) qu'il n'y a pas bezef entre le tronc de cône en bleu et l'hyperboloïde en rouge. La distance entre les deux augmente si on augmente l'angle $\gamma$ (angle de rotation du petit cercle par rapport au grand dans la génération de l'hyperboloïde). 85948

cordiste · April 2019

Merci GaBuZoMeu pour ton programme mais avec ma calculatrice je n'arrive pas à obtenir ton résultat de 245,2 pour le l'exemple d'une yourte de 250 cm de rayon, un puits de lumière de 90 cm, un angle de pente de 22°, avec 12 paires de perches de toit et 4 assemblages par perche.

Le résultat donné par ma calculatrice est :

h = (250-45)*tan(22) = 82,82

a = pi/n = 3,1428/12 = 0,2619

x = R - (r*cos(c*a)) = 250-(45*cos(4*0,2619)) = 205

y = r*sin(c*a) = 45*sin(4*0,2619) = 0,82

L = sqrt(x2+y2+h2) = sqrt(205^2+0,82^2+82,82^2) = 235,81

Je ne suis pas à 10cm prêt mais je veux bien une explication de mon erreur avant d'aller couper mes bambous B-)

GaBuZoMeu · April 2019

Si tu utilises les fonctions de ta calculette en mode degrés avec des angles exprimés en radians, c'est sûr que ça ne marche pas bien !
Quand tu calcules tan(22), tu as bien entré un angle exprimé en degrés.
Par contre quand tu fais a=pi/n, tu as une mesure d'angle en radians. Quand tu demandes ensuite cos(c*a) à ta calculette, elle te retourne le cosinus d'a peu près 1°, soit à peu près 1 (et à peu près 0 pour sin(c*a)). Alors que tu devrais avoir respectivement $1/2$ et $\sqrt3/2$.

Vu que mon logiciel fonctionne avec les fonctions trigonométriques mathématiques, tous les angles de ma procédure son exprimés en radians. Ou bien tu passes en mode radians sur ta calculette, ou bien tu fais les conversions nécessaires.

GaBuZoMeu · April 2019

PS. Avant de couper tes bambous, réfléchis bien au mode d'assemblage de tes bambous. Ce que j'ai calculé est la distance sur la perche en bambou entre le cercle inférieur (base du toit) et le cercle supérieur ("tonoo" ?). Tu peux avoir besoin de perches un peu plus longues. ;-)

GaBuZoMeu · April 2019

PPS. Ta calculette a vraiment un pi à 3.1428 ? Tu devrais envisager d'investir dans une nouvelle calculette. :-D

cordiste · April 2019

Pour le calcul de la longueur des perches tes conseils sur les radians on été très utiles GaBuZoMeu. Merci
Et effectivement mon Pi était vraiment non conventionnel :)o

A l'aide de ma nouvelle calculatrice, j'essaie maintenant de déterminer la position des assemblages avec :

a = pi/n
b = (2*k+1)*a/2
s = r*sin(b)
t = R*sin(c*a-b)

Est-ce que pour k=1, je peux trouver la distance (d) de l'extrémité de la perche au premier trou ainsi ?

d = l*s/(s+t)

Car mes résultats :-S ne sont pas convaincants comparés à ceux de ton programme.