Intersections ellipses et cercles

jelobreuil · April 2019

Bonsoir à tous,
Une ellipse d'excentricité c/a étant le lieu des centres des cercles (que j'appellerai ici "cercles courants") qui sont tangents intérieurement à un cercle donné (de centre F' et de rayon 2a) et qui passent par un point fixe F tel que FF' = 2c, comment montrer qu'il existe une valeur seuil e_s de l'excentricité telle que, quand e est supérieure à e_s, pour certaines positions du point courant sur l'ellipse, le cercle courant et l'ellipse ont quatre points d'intersection, alors que si e est inférieure à e_s, ils ne peuvent avoir que deux points d'intersection, quelle que soit la position du point courant sur l'ellipse ? Et calculer cette valeur seuil ?
Bien cordialement. 86024

poulbot · April 2019

Bonjour Jelobreuil
Ta valeur seuil devrait correspondre au cas où un de tes "cercles courants" est osculateur à l'ellipse.
Si on paramètre l'ellipse par $\theta \rightarrow M\left( \theta \right) =\left[ a\cos \theta ,b\sin \theta \right] $, avec $a^{2}=b^{2}+c^{2},e=\dfrac{c}{a}$, le cercle osculateur en $M\left( \theta \right) $ est centré en $\Omega \left( \theta \right) =\left[ \dfrac{c^{2}}{a}\cos ^{3}\theta ,-\dfrac{c^{2}}{b}\sin ^{3}\theta \right] $ et a pour rayon $R=\dfrac{\left( a^{2}-c^{2}\cos ^{2}\theta \right) ^{\frac{3}{2}}}{ab}$.
Sauf erreur de ma part, ce cercle est centré sur l'ellipse si $\cos ^{2}\theta =\dfrac{2e^{2}-1}{e^{2}\left( 2-e^{2}\right) }$ et il passe par $F=\left[ c,0\right] $ si $\cos \theta =-\dfrac{1}{2e}$.
Il en résulte que $e_{S}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Il faudrait évidemment vérifier que
si $e<\sqrt{\dfrac{2}{3}}$, un cercle courant a $2$ points communs avec l'ellipse
si $e>\sqrt{\dfrac{2}{3}}$, un cercle courant a $2$, $3$ ou $4$ points communs avec l'ellipse
Bien cordialement. Poulbot

GaBuZoMeu · April 2019

Bonjour,

Un traitement sans intelligence, utilisant les outils de calcul formel du logiciel Maple.
On écrit un système de trois équations à inconnues $x,y,u,v,e$. Bien sûr $e$ est l'excentricité. Il y a deux équations qui disent que $(x,y)$ et $(u,v)$ sont sur l'ellipse de foyers $F'=(0,0)$ et $F=(2e,0)$ de demi-grand axe $a=1$, et une équation qui dit que $(x,y)$ est sur le cercle de centre $(u,v)$ et qui passe par $F$. Plus des inégalités $0<e<1$.
On considère $u,e$ comme paramètres et on décompose l'espace des paramètres en cellules ouvertes où le nombre de solutions réelles $(x,y,v)$ du système des trois équations est constant. Ce nombre peut être 0, 4 (correspondant à deux intersections entre le cercle et l'ellipse, vu la symétrie $v\mapsto -v$) ou 8 (correspondant à quatre intersections entre le cercle et l'ellipse). On fait afficher en jaune la réunion des cellules à 4 solutions et en rouge celle des cellules à 8 solutions.

restart: with(RootFinding[Parametric]):
Ellxy:=(x-e)^2*(1-e^2)+y^2+e^2-1:
Elluv:=(u-e)^2*(1-e^2)+v^2+e^2-1:
Cercle:=(x-u)^2+(y-v)^2-(2*e-u)^2-v^2:
CD:=CellDecomposition([Ellxy,Elluv,Cercle],[e,1-e],[x,y,v],[u,e]):
list_cell:=NumberOfSolutions(CD):
list_cell_4:= select(x->x[2]=4,list_cell)[..,1]:
list_cell_8:= select(x->x[2]=8,list_cell)[..,1]:
plot_cell_4:=CellPlot(CD, list_cell_4, cellcolor=yellow, grid=200):
plot_cell_8:=CellPlot(CD, list_cell_8, cellcolor=red, grid=200):
with(plots):display(plot_cell_4,plot_cell_8);

On obtient le joli dessin ci-dessous.

On voit une belle courbe à cusp qui sépare le rouge du jaune. Pour identifier cette courbe, on regarde la liste des polynômes qui interviennent dans la décomposition en cellules.

PP:=CD[ProjectionPolynomials];

PP := [[e, -2+e^2, -1+e, e-3, e+1, e+3, 3*e^2-2], [1+e^2-u*e, e-u-1, e-u+1, 3-15*e^2+24*e^4-8*e^6+4*e^8+8*u*e-36*u*e^3+24*u*e^5-8*u*e^7+16*u^2*e^2-16*u^2*e^4+4*u^2*e^6]]

C'est visiblement le dernier polynôme qui nous intéresse. Recherchons la coordonnée en $e$ du cusp en recherchant les points singuliers de la courbe d'équation ce polynôme.

Dis:=PP[-1][-1]:
with(PolynomialIdeals) :
Sing:=PolynomialIdeal(Dis,diff(Dis,e),diff(Dis,u)):
Crite:=EliminationIdeal(Sing,{e}):
factor(IdealInfo[Generators](Crite)[1]);

(3*e^2-2)^2

Bingo, on retrouve bien le $e=\sqrt{2/3}\simeq 0.8165$ de Poulbot.

PS. On aurait pu se contenter de regarder les polynômes en $e$ dans la liste de polynômes PP. On y voit bien $3e^2-2$. 86046

poulbot · April 2019

Bonjour GaBuZomeu et merci
Je suis rassuré car j'avoue ne pas être très fier de ma méthode rustico-intuitive.
Pour Jelobreuil, une petite figure : l'ellipse est d'excentricité $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
Prenant $M$ sur l'ellipse tel que $\overline{Om}=\dfrac{3}{4}\overline{OF^{\prime }}$, le cercle osculateur en $M$ à l'ellipse est centré sur l'ellipse en $\Omega $, passe par $F$ et est tangent intérieurement au cercle $\left( F^{\prime },2a\right) $.
Bien cordialement. Poulbot 86052

jelobreuil · April 2019

Bonsoir à tous,
Grand Merci à Poulbot et GaBuZoMeu, pour s'être intéressés à cette petite chose !
En fait, si j'ai posé cette question, c'est parce que j'ai eu la curiosité de m'intéresser à l'allure du lieu défini ainsi : étant donné une ellipse, l'un de ses cercles directeurs et un "cercle courant", le point de contact de ce dernier avec le cercle directeur et les deux points d'intersection du cercle courant avec l'ellipse définissent un triangle. Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans ce triangle quand le point courant, autrement dit le centre du "cercle courant", décrit l'ellipse ?
J'ai donc commencé par faire une première figure avec Geogebra, et j'ai constaté d'emblée que ce lieu avait une allure assez curieuse, voir les figures jointes, et que cette allure dépendait beaucoup de l'excentricité de l'ellipse. Et quand l'ellipse devenait très aplatie, avec une excentricité proche de 1, le lieu donné par Geogebra devenait lui aussi très "excentrique" ! C'est alors que je me suis aperçu de l'existence de cette valeur seuil de l'excentricité de l'ellipse au-delà de laquelle il n'y a plus seulement 2, mais 4 points d'intersection du cercle courant et de l'ellipse, ce qui suffit bien évidemment à désorienter complètement Geogebra pour la définition du triangle !
Sur les figures ci-dessous, où ce lieu du point I du triangle PQR est tracé en rouge, les valeurs de l'excentricité sont les suivantes : 3,81/7,33 = 0,52 ; 4,95/6.31 = 0,78; 5,15/6,12 = 0,84 ; 5,46/6,02 = 0,91 ; 5,12/6,15 = 0,83 ; 5,63/6,04 = 0,93.
On retrouve bien la valeur seuil de 0,8165, au delà de laquelle les choses ont l'air nettement moins simples ! On constate en effet, sur les deux dernières figures où le point courant se trouve dans une position telle qu'il y a quatre points d'intersection, le point I ne se trouve pas sur le lieu donné par Geogebra ! Il faut dire que pour passer de l'une à l'autre figure, je n'ai fait qu'écarter l'un de l'autre les foyers A et B, en partant de la première figure ...
Quelle est, dans le cas simple où le triangle est bien défini, la nature de la courbe représentant ce lieu ?
Bien cordialement, JLB 86060

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