Cône cylindre
Réponses
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« Le » cône ? « Le » cylindre ? C'est bien étrange. D'autant que la première forme n'est pas canonique, elle dépend du paramétrage de la surface. Comme je ne connais pas « le » cône ni « le » cylindre, j'en choisis un de chaque à ma guise.
Paramètrons le cône d'équation $x^2+y^2=z^2$ par \[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=M(u,v)=\begin{pmatrix}u\cos v\\u\sin v\\u\end{pmatrix}.\] Alors\[\frac{\partial M}{\partial u}=\begin{pmatrix}\cos v\\\sin v\\1\end{pmatrix},\quad\frac{\partial M}{\partial v}=\begin{pmatrix}-u\sin v\\u\cos v\\0\end{pmatrix},\] de sorte que la matrice de la première forme fondamentale est \[\begin{pmatrix}2&0\\0&u^2\end{pmatrix}.\]Pour le cylindre $x^2+y^2=r^2$, paramétré par \[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=N(u,v)=\begin{pmatrix}r\cos v\\r\sin v\\u\end{pmatrix},\] avec \[\frac{\partial M}{\partial u}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},\quad\frac{\partial M}{\partial v}=\begin{pmatrix}-r\sin v\\r\cos v\\0\end{pmatrix},\] la matrice de la première forme fondamentale est \[\begin{pmatrix}1&0\\0&r^2\end{pmatrix}.\]Ce n'est pas identique mais si tu précises la question, il reste un espoir. -
Bonjour Math Cross, et merci de me répondre. C'est bien les paramétrages du cône et du cylindre dont il est vraisemblablement question dans mon énoncé. Maintenant, la subtilité semble résulter du fait que d’après mon cours, non, la première forme fondamentale ne dépend pas du paramétrage. Mais les coefficients si... Dans ces paramétrages que tu as choisis pour chaque surface (qui sont les mêmes que j'ai intuitivement également utilisés), les coefs des premières formes diffèrent. Ma professeur a essayé de m'orienter en m'invitant à "montrer, par le processus d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, que leur première forme quadratique fondamentale est la même." Mais je coince... De plus, je n'arrête pas de voir dans d'autres cours l'affirmation que deux surfaces sont localement isométriques ssi les coefs de leur première forme fondamentale dans leur paramétrisation sont identiques... Ce qui ne semble pas aller dans le sens de ce que mon professeur m'a dit. Bref, je suis perdu...
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Je vois des choses (trop?) simples :
$$
\begin{pmatrix} z\cos t \\ z \sin t \\ z \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ z \end{pmatrix} \qquad
z\in]0,1]\quad t\in ]0,2\pi]
$$ -
Bonjour
La première forme fondamentale est l'application bilinéaire qui à deux vecteurs tangents fait correspondre leur produit scalaire.
Elle s'écrit généralement sous forme d'une matrice dont les coefficients dépendent du paramétrage de la surface. Mais l'application elle-même ne dépend pas de ce paramétrage.
Ainsi, quand on change de paramétrage, les coefficients changent mais c'est toujours la même première forme fondamentale (même produit scalaire).
Le cône et le cylindre ont effectivement la même première forme fondamentale, et de plus c'est la même que pour le plan euclidien.
Si l'on déplie le cône ou le cylindre pour le mettre à plat (ce qui est possible sans distendre la surface, comme on peut l'expérimenter avec une feuille de papier) toute base orthonormée du plan définit un paramétrage de la surface, que l'on peut visualiser comme une grille régulière. Quand on enroule la surface pour retrouver le cône (ou cylindre) on peut conserver ce paramétrage pour lequel les coefficients de la 1ère forme sont 1, 0, 0, 1.
Bref, faire un cône ou un cylindre avec une feuille de papier millimétré.
On peut dire la même chose avec le vocabulaire de la relativité générale en formalisme tensoriel : on parle alors de tenseur métrique (première forme fondamentale) et de système de coordonnées (paramétrage). Les coefficients du tenseur métrique exprimé dans un système de coordonnées n'ont pas de signification physique. Si l'on change de coordonnées ces coefficients changent mais c'est toujours la même métrique (même produit scalaire, mêmes longueurs, mêmes angles). -
Bonjour Horza. Merci de nous avoir rejoins.
Oui, c'est exactement ce que j'avais compris d'apres mon cours et les dires de mon professeur. Mais je n'arrive toujours pas à prouver de maniere formelle que le cone et le cylindre on la meme premiere forme fondamentale par le calcul. Comment dois je proceder? Peut on le montrer à partir de leur coefs dans une paramétrisation donnée, telle qu'ils sont explicitement différents? -
Je comprends (aujourd'hui) que la première forme fondamentale n'est que la restriction du produit scalaire standard de $\R^3$.
En revanche, je ne comprends pas bien ce que cela veut dire de comparer deux formes quadratiques dans deux plans différents, à part dire qu'elles ont la même signature. Ce sera le cas de la première forme de n'importe quelle surface, non ? -
Avoir la même première forme fondamentale pour deux surfaces $S_1$ et $S_2$ signifie qu'elles admettent chacune (localement) un paramétrage $\phi_1$ et $\phi_2$ définis sur le même ouvert $U_0$ de $\R^2$ tels que
$E_{\phi_1}=E_{\phi_2}$, $F_{\phi_1}=F_{\phi_2}$, $G_{\phi_1}=G_{\phi_2}$, comme fonctions sur $U_0$.
[Pour $\LaTeX$, il suffit d'encadrer chaque expression mathématique par des $\$$. ;-) AD] -
@idem :
Sachant maintenant ce que tu veux démontrer tu dois trouver dans le cours les éléments à partir desquels tu peux construire la démonstration. Si ton professeur t'a donné cet exercice, c'est qu'il a fourni dans le cours ce dont tu as besoin.
Le premier post de Math Coss montre une façon de faire, si cela te parle tu peux facilement en tirer la démonstration. Il faut pour cela conserver intact le calcul pour le cylindre, et pour le cône effectuer un simple changement de variable en remplaçant le paramètre u = z par le paramètre w correspondant à la distance au sommet du cône. On a alors :
x² + y² = r² = w² sin²(a) avec a le demi-angle d'ouverture du cône
z = w cos(a)
et avec le paramétrage en (w, u) on retrouve la même expression que pour le cylindre.
C'est une expression que l'on rencontre souvent, puisque c'est celle qui décrit le plan euclidien en coordonnées polaires.
On pourrait faire la même chose en coordonnées cartésiennes. C'est immédiat pour le cylindre mais plutôt laborieux pour le cône, et le choix des coordonnées polaires est donc ici tout à fait judicieux.
@ Math Coss
Pour des êtres à 2 dimensions qui vivraient sur ces surfaces il n'y a pas moyen, par des mesures géométriques locales, de savoir s'ils sont sur un plan, un cylindre ou un cône car dans les trois cas la géométrie est euclidienne (somme des angles d'un triangle, rapport de la circonférence au rayon du cercle, etc.). Ce serait différent avec, par exemple, la surface d'une sphère. La géométrie n'est alors pas euclidienne, et il n'existe pas de paramétrage qui conduirait à la même expression de la 1ère forme que dans le cas euclidien . -
Je comprends enfin que la comparaison de la 1re forme fondamentale n'est pas ponctuelle mais locale. Il était temps.
En revanche, je ne vois pas pourquoi poser $w=z\cos\alpha$ améliore la situation. Pour un angle $\alpha$ entre l'axe et les génératrices, l'équation devient $x^2+y^2=z^2\tan^2\alpha$ et on peut paramétrer le cône par \[M(u,w)=\begin{pmatrix}w\cos u\sin\alpha\\w\sin u\sin\alpha\\w\cos\alpha\end{pmatrix}.\]On trouve pour dérivées partielles : \[\frac{\partial M}{\partial u}(u,w)=\begin{pmatrix}-w\sin u\sin\alpha\\w\cos u\sin\alpha\\0\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad
\frac{\partial M}{\partial w}(u,w)=\begin{pmatrix}\cos u\sin\alpha\\\sin u\sin\alpha\\\cos\alpha\end{pmatrix}.\]Ces vecteurs sont bien orthogonaux mais la norme du premier n'est pas constante. On peut se débarrasser du facteur $\sin\alpha$ en remplaçant $u$ par $u'=u/\sin\alpha$ mais je ne vois pas comment éviter la dépendance en $w$. -
Tu as raison, je suis allé trop vite et c'est plus compliqué que ce que j'ai écrit.
Il doit exister une méthode plus simple. -
Je n'ai malheureusement aucun exemple illustrant cela dans mon cours, mais ma professeure m'a invitée à me servir du procedé d'orthonormalisation de Gram Schmidt. Je n'arrive helas pas à voir comment.........
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Désolé, mais je ne sais pas non plus comment faire la démonstration avec le procédé de Gram Schmidt. Peut-être en exprimant le vecteur normal, et en utilisant le procédé pour construire une base orthonormée composée de ce vecteur normal et de deux autres vecteurs qui sont par construction orthonormés et tangents à la surface ?
J'en profite pour compléter ce que j'ai écrit plus haut.
Pour le cône, on utilise la distance au sommet w et l'angle réduit v.r/w = v.sin(a)
On se ramène ainsi à une métrique plane en coordonnées polaires, avec un angle variant sur l'intervalle [ 0, 2 $\pi$ sin(a) [.
Pour le cylindre on pose
X = r.v
Avec (X,z) on se ramène à une métrique plane en coordonnées cartésiennes, X variant dans l'intervalle [ 0, 2 $\pi$ r [.
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