Point de Lemoine et axes radicaux
dans Géométrie
Bonsoir à tous
C'est une question inspirée par un problème vu sur le site "Diophante".
Qu'est-ce qui fait que dans un triangle ABC, l'axe radical de la paire de cercles passant l'un par B, mA et mB et l'autre par C, mA et mC (mA étant le milieu de BC, mB celui de AC et mC celui de AB) passe par le point de Lemoine ?
Et idem par permutation circulaire, autrement dit, les trois axes radicaux des trois paires de cercles ainsi définies concourent en L ... voir les figures (sur la deuxième, j'ai laissé les bissectrices qui m'ont aidé à construire les symédianes).
Quelle est la subtilité de la chose ?
Merci d'éclairer ma lanterne !
Bien cordialement
C'est une question inspirée par un problème vu sur le site "Diophante".
Qu'est-ce qui fait que dans un triangle ABC, l'axe radical de la paire de cercles passant l'un par B, mA et mB et l'autre par C, mA et mC (mA étant le milieu de BC, mB celui de AC et mC celui de AB) passe par le point de Lemoine ?
Et idem par permutation circulaire, autrement dit, les trois axes radicaux des trois paires de cercles ainsi définies concourent en L ... voir les figures (sur la deuxième, j'ai laissé les bissectrices qui m'ont aidé à construire les symédianes).
Quelle est la subtilité de la chose ?
Merci d'éclairer ma lanterne !
Bien cordialement
Réponses
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Bonjour,
clc, clear all, close all syms a b c; % Sommets de ABC syms aB bB cB; % Conjugués aB=1/a; % Truc de Morley: bB=1/b; % A,B,C sur le cercle unité cB=1/c; syms s1 s2 s3; s1=a+b+c; % Fonctions symétriques s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c; syms s1B s2B s3B s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %------------------------------------------------------------------------- % Point de Lemoine X_6 x6=(2*s2^2-6*s1*s3)/(s1*s2-9*s3); x6B=(2*s2B^2-6*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B); % Milieux A', B', C' des côtés ap=(b+c)/2; bp=(c+a)/2; cp=(a+b)/2; apB=(bB+cB)/2; bpB=(cB+aB)/2; cpB=(aB+bB)/2; % Axe radical des cercles (A'BB') et (A'CC') [ab abB Rab2]=CercleTroisPoints(ap,b,bp,apB,bB,bpB); [ac acB Rac2]=CercleTroisPoints(ap,c,cp,apB,cB,cpB); [pa qa ra]=AxeRadical(ab,abB,Rab2,ac,acB,Rac2); F=2*b*c*(a-b)*(a-c)/(b-c); pa=Factor(F*pa); qa=Factor(F*qa); ra=Factor(F*ra); % On trouve: pa=3*b*c-a*(b+c)-a^2; qa=b*c*(s2-3*a^2); ra=2*(b+c)*(a^2-b*c); % Cet axe radical passe par X_6: Nulx6=Factor(pa*x6+qa*x6B+ra) % Ce qui fait 0 % Second Point d'intersection A" des cercles (A'BB') et (A'CC') après A' syms z zB zB=-(pa*z+ra)/qa; Nulas=Factor((z-ab)*(zB-abB)-Rab2) % On trouve : Eq=collect(- a^2*b - a^2*c + z*a^2 - a*b^2 + 2*a*b*c + z*a*b - a*c^2 + z*a*c + b^2*c + b*c^2 - 3*z*b*c,z) % Donc: as=((a^2-b*c)*(b+c) + a*(b^2+c^2) - 2*s3)/(a*(b+c) - 3*b*c + a^2); % De même, par permutation circulaire: bs=((b^2-c*a)*(c+a) + b*(c^2+a^2) - 2*s3)/(b*(c+a) - 3*c*a + b^2); cs=((c^2-a*b)*(a+b) + c*(a^2+b^2) - 2*s3)/(c*(a+b) - 3*a*b + c^2); asB=((aB^2-bB*cB)*(bB+cB) + aB*(bB^2+cB^2) - 2*s3B)/(aB*(bB+cB) - 3*bB*cB + aB^2); bsB=((bB^2-cB*aB)*(cB+aB) + bB*(cB^2+aB^2) - 2*s3B)/(bB*(cB+aB) - 3*cB*aB + bB^2); csB=((cB^2-aB*bB)*(aB+bB) + cB*(aB^2+bB^2) - 2*s3B)/(cB*(aB+bB) - 3*aB*bB + cB^2); % Droite (AA") [pa qa ra]=DroiteDeuxPoints(a,as,aB,asB); F=s3*(a*(b+c) - 3*b*c + a^2)*(s2 - 3*a^2)/((a - b)*(a - c)); pa=Factor(F*pa) qa=Factor(F*qa) ra=Factor(F*ra) % On trouve: pa=-s2*(a*(b+c) - 3*b*c + a^2); qa=s1*s3*(s2 - 3*a^2); ra=(a^2-b*c)*((b+c)*(a^2+b*c) + a*(b^2+c^2) + 6*s3); % De même: pb=-s2*(b*(c+a) - 3*c*a + b^2); qb=s1*s3*(s2 - 3*b^2); rb=(b^2-c*a)*((c+a)*(b^2+c*a) + b*(c^2+a^2) + 6*s3); % Point d'intersection J des droites (AA") et (BB") [j jB]=IntersectionDeuxDroites(pa,qa,ra,pb,qb,rb); j=FracSym(j) % On trouve j =(s1*s2+3*s3)/(4*s2) qui est X_468 % Donc (AA"), (BB"), (CC") sont concourantes en X_468 % qui est sur la droite d'Euler
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour et merci à vous deux
Quel est l'axe radical du cercle $A^{\prime }BB^{\prime }$ et du cercle de diamètre $\left[ BC\right] $? du cercle $A^{\prime }CC^{\prime }$ et du cercle de diamètre $\left[ BC\right] $?
Quel est l'inverse du point $A^{\prime \prime }$ de Rescassol par rapport au cercle de diamètre $\left[ BC\right] $?
Cordialement. Poulbot -
Bonjour Poulbot,
Les droites $(BX_6)$ et $(CX_6)$.
Le point $X_6$.
Il est partout, ce point de Lemoine.
Cordialement,
Rescassol -
Merci, Poulbot, Rescassol, de votre intérêt pour cette question !
Pour les autres que cela intéresserait, la référence sur Diophante est D1863, les solutions proposées sont disponibles et très instructives !
Pour faire écho à la remarque de Rescassol, j'ai l'impression que ce point de Lemoine est un "grand oublié" de la géométrie du triangle ! Du moins pour le "vulgum pecus" des amateurs de géométrie dont je me targue, peut-être bien inconsidérément, de faire partie ...
Bien cordialement
JLB -
Bonsoir,
Une solution avec les coordonnées barycentriques.
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$
Axe radical des cercles B-mA-mB et C-mA-mC :
$(b - c) (b + c)x-a^2y+a^2z=0.$
Axe radical des cercles C-mC-mB et A-mA-mB :
$b^2x-(a - c) (a + c)y-b^2z=0.$
Axe radical des cercles A-mC-mA et B-mC-mB :
$-c^2x+c^2y+(a - b) (a + b)z=0.$
La matrice
$\begin{pmatrix}
(b-c)(b+c) & -a^2 & a^2 \\
b^2 & -(a-c)(a+c) & -b^2 \\
-c^2 & c^2 & (a-b)(a+b)
\end{pmatrix} $
a un déterminant nul.
Les trois droites sont concourantes et le point de concours est $L\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 \\ b^2 \\ c^2 \end{array}\right]$ qui n'est autre que le point de Lemoine.
Amicalement -
Bonjour
Les questions que j'ai posées plus haut - ICI - avaient pour but de suggérer une solution.
Soient $K$ le point de Lemoine de $ABC$ et $j$ l'inversion par rapport au cercle de diamètre $\left[ BC\right] $.
On a $\overrightarrow{A^{\prime }j\left( B^{\prime }\right) }=\dfrac{a^{2}}{c^{2}}\overrightarrow{A^{\prime }B^{\prime }}$. Ainsi $\overrightarrow{Bj\left( B^{\prime }\right) }=\dfrac{1}{2}\dfrac{a^{2}}{c^{2}}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ est colinéaire à $a^{2}\overrightarrow{BA}+c^{2}\overrightarrow{BC}$ qui dirige la symédiane $BK$.
$j\left( BK\right) $ est donc le cercle $A^{\prime }BB^{\prime }$; de même $j\left( CK\right) $ est le cercle $A^{\prime }CC^{\prime }$.
Il en résulte que l'axe radical des cercles $A^{\prime }BB^{\prime }$ et $A^{\prime }CC^{\prime }$ est la droite $A^{\prime }j\left( K\right) $ qui passe évidemment par $K$.
Cordialement. Poulbot
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Bonjour!
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