Point de Lemoine et axes radicaux

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syms a b c; % Sommets de ABC

syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Truc de Morley:
bB=1/b; % A,B,C sur le cercle unité
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;

s1=a+b+c;  % Fonctions symétriques
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

syms s1B s2B s3B

s1B=s2/s3; % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-------------------------------------------------------------------------

% Point de Lemoine X_6

x6=(2*s2^2-6*s1*s3)/(s1*s2-9*s3);
x6B=(2*s2B^2-6*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B);

% Milieux A', B', C' des côtés

ap=(b+c)/2;
bp=(c+a)/2;
cp=(a+b)/2;

apB=(bB+cB)/2;
bpB=(cB+aB)/2;
cpB=(aB+bB)/2;
    
% Axe radical des cercles (A'BB') et (A'CC')

[ab abB Rab2]=CercleTroisPoints(ap,b,bp,apB,bB,bpB);
[ac acB Rac2]=CercleTroisPoints(ap,c,cp,apB,cB,cpB);

[pa qa ra]=AxeRadical(ab,abB,Rab2,ac,acB,Rac2);

F=2*b*c*(a-b)*(a-c)/(b-c);

pa=Factor(F*pa);
qa=Factor(F*qa);
ra=Factor(F*ra);

% On trouve:

pa=3*b*c-a*(b+c)-a^2;
qa=b*c*(s2-3*a^2);
ra=2*(b+c)*(a^2-b*c);
 
% Cet axe radical passe par X_6:

Nulx6=Factor(pa*x6+qa*x6B+ra) % Ce qui fait 0

% Second Point d'intersection A" des cercles (A'BB') et (A'CC') après A'

syms z zB

zB=-(pa*z+ra)/qa;

Nulas=Factor((z-ab)*(zB-abB)-Rab2)

% On trouve :

Eq=collect(- a^2*b - a^2*c + z*a^2 - a*b^2 + 2*a*b*c + z*a*b - a*c^2 + z*a*c + b^2*c + b*c^2 - 3*z*b*c,z)

% Donc:

as=((a^2-b*c)*(b+c) + a*(b^2+c^2) - 2*s3)/(a*(b+c) - 3*b*c + a^2);

% De même, par permutation circulaire:

bs=((b^2-c*a)*(c+a) + b*(c^2+a^2) - 2*s3)/(b*(c+a) - 3*c*a + b^2);
cs=((c^2-a*b)*(a+b) + c*(a^2+b^2) - 2*s3)/(c*(a+b) - 3*a*b + c^2);

asB=((aB^2-bB*cB)*(bB+cB) + aB*(bB^2+cB^2) - 2*s3B)/(aB*(bB+cB) - 3*bB*cB + aB^2);
bsB=((bB^2-cB*aB)*(cB+aB) + bB*(cB^2+aB^2) - 2*s3B)/(bB*(cB+aB) - 3*cB*aB + bB^2);
csB=((cB^2-aB*bB)*(aB+bB) + cB*(aB^2+bB^2) - 2*s3B)/(cB*(aB+bB) - 3*aB*bB + cB^2);

% Droite (AA")

[pa qa ra]=DroiteDeuxPoints(a,as,aB,asB);

F=s3*(a*(b+c) - 3*b*c + a^2)*(s2 - 3*a^2)/((a - b)*(a - c));

pa=Factor(F*pa)
qa=Factor(F*qa)
ra=Factor(F*ra)

% On trouve:

pa=-s2*(a*(b+c) - 3*b*c + a^2);
qa=s1*s3*(s2 - 3*a^2);
ra=(a^2-b*c)*((b+c)*(a^2+b*c) + a*(b^2+c^2) + 6*s3);
 
% De même:

pb=-s2*(b*(c+a) - 3*c*a + b^2);
qb=s1*s3*(s2 - 3*b^2);
rb=(b^2-c*a)*((c+a)*(b^2+c*a) + b*(c^2+a^2) + 6*s3);
 
% Point d'intersection J des droites (AA") et (BB")

[j jB]=IntersectionDeuxDroites(pa,qa,ra,pb,qb,rb);

j=FracSym(j)

% On trouve j =(s1*s2+3*s3)/(4*s2) qui est X_468
% Donc (AA"), (BB"), (CC") sont concourantes en X_468
% qui est sur la droite d'Euler