Torsion.

Moralement, c'est une mesure de l'éloignement de la courbe de son plan osculateur. As-tu regardé https://fr.wikipedia.org/wiki/Torsion_d'une_courbe ?

Bonne idée de regarder un escalier, c'est-à-dire, si on se concentre sur la rampe pour avoir une vraie courbe, une hélice.

Anas Mourahib a écrit:

Aussi, je sais pas pourquoi je sens que si la torsion augmente, la courbure diminue.

Ça, c'est une erreur : courbure et torsion sont indépendantes. Si on se donne deux fonctions $f$ et $g$ à peu près quelconques, il existe une unique courbe qui a pour courbure $f$ et pour torsion $g$, cf. par exemple le théorème 4 de ce cours. Dans une hélice, on peut changer le rayon du cylindre sur lequel elle est tracée (le paramètre noté $a$ sur Wikipedia) et la « pente » de l'hélice (le paramètre $b$) et changer ainsi fixer indépendamment la courbure et la torsion.

En effet. Je copie. Pour l'hélice paramétrée par $(x(t),y(t),z(t))=(a\cos t,a\sin t,bt)$, où $a$ et $b$ sont des réels fixés, disons positifs et pas tous deux nuls, et $t$ parcourt $\R$, on a : \[(\text{courbure},\text{torsion})=\Big(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{b}{a^2+b^2}\Big).
\]On voit ainsi que le couple $(a,b)$ détermine de façon bijective le couple (courbure,torsion). Bien sûr, le fait que courbure et torsion soient constantes est exceptionnel, il caractérise même les hélices circulaires (on peut le voir comme un cas simple du paramétrage intrinsèque des courbes de l'espace). De ce fait, une courbe possède en tout point une unique hélice circulaires osculatrice et la détermination de la courbure et de la torsion équivaut à la détermination de cette hélice. S'intéresser aux hélices circulaires me semble donc utile, au même titre que les cercles lorsqu'on étudie la courbure des courbes planes.

Edit : ajout des « circulaires » ; rectification du paramétrage (même coefficient pour $x$ et $y$).

Dont acte – j'ai ajouté des « circulaire » plus haut. Dans le lien que j'ai mis, je n'avais pas lu la définition générale des hélices (angle constant du vecteur tangent avec un plan fixe) ni suivi le lien vers le théorème de Lancret (caractérisation des hélices par le rapport courbure/torsion).