Quelques alignements
Bonjour,
Quelques alignements étudiés par Jean-Louis Ayme & al.
Avec Morley inscrit, on a :
$I(0)$ et le triangle de contact $UVW$ du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.
Ce cercle est unitaire, donc $\overline{u}=\dfrac{1}{u}$ et permutation circulaire (p.c.).
On pose $s_1=u+v+w, s_2=uv+vw+wu, s_3=uvw$.
On a $A(a)$ avec $a=\dfrac{2vw}{v+w}$ et p.c.
$O\left(o=\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2-s_3}\right)$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$,
$H\left(h=\dfrac{2(s_2^2-s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}\right)$ son orthocentre, $Na\left(na=\dfrac{2(s_2^2+s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}\right)$ son point de Nagel,
et $\omega\left(om=\dfrac{s_2^2}{s_1s_2-s_3}\right)$ le centre de son cercle d'Euler.
$A_1B_1C_1$ est le triangle orthique de $ABC$. On a $A_1(a_1)$ avec $a_1=\dfrac{s_2-u^2}{v+w}$ et p.c.
$A_1B_1C_1$ a $\omega$ pour centre de son cercle circonscrit et $Ho\left(ho=\dfrac{s_1^4 - 4s_1^2s_2 + 4s_1s_3 + s_2^2}{s_3-s_1s_2}\right)$ son orthocentre.
$X_{355}\left(x_{355}=\dfrac{2(s_2^2-s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}\right)$ est le centre de son cercle de Fuhrmann (diamètre $[H Na]$).
$X_{11}\left(x_{11}=\dfrac{s_2}{s_1}\right)$ est son point de Feuerbach.
$X\left(x=\dfrac{2(s_1^4s_3^2 + s_1^3s_2^2s_3 - 4s_1^2s_2s_3^2 - 5s_1s_2^3s_3 + 4s_1s_3^3 + s_2^5 + 8s_2^2s_3^2)}{(s_1s_2 - s_3)(s_1^3s_3 - 4s_1s_2s_3 + s_2^3 + 4s_3^2)}\right)$ est le point d'intersection de la parallèle à la droite d'Euler du triangle orthique passant par $H$, et de la droite $(O Na)$
$T\left(t=\dfrac{s_1(s_1^3s_3 - 4s_1s_2s_3 + s_2^3 + 4s_3^2)}{(s_3 - s_1s_2)(2s_3 - s_1s_2)}\right)$ est le point d'intersection des droites d'Euler du triangle orthique et du triangle de contact.
Ci-joint la figure sur laquelle on voit quelques alignements.
Cordialement,
Rescassol
Quelques alignements étudiés par Jean-Louis Ayme & al.
Avec Morley inscrit, on a :
$I(0)$ et le triangle de contact $UVW$ du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.
Ce cercle est unitaire, donc $\overline{u}=\dfrac{1}{u}$ et permutation circulaire (p.c.).
On pose $s_1=u+v+w, s_2=uv+vw+wu, s_3=uvw$.
On a $A(a)$ avec $a=\dfrac{2vw}{v+w}$ et p.c.
$O\left(o=\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2-s_3}\right)$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$,
$H\left(h=\dfrac{2(s_2^2-s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}\right)$ son orthocentre, $Na\left(na=\dfrac{2(s_2^2+s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}\right)$ son point de Nagel,
et $\omega\left(om=\dfrac{s_2^2}{s_1s_2-s_3}\right)$ le centre de son cercle d'Euler.
$A_1B_1C_1$ est le triangle orthique de $ABC$. On a $A_1(a_1)$ avec $a_1=\dfrac{s_2-u^2}{v+w}$ et p.c.
$A_1B_1C_1$ a $\omega$ pour centre de son cercle circonscrit et $Ho\left(ho=\dfrac{s_1^4 - 4s_1^2s_2 + 4s_1s_3 + s_2^2}{s_3-s_1s_2}\right)$ son orthocentre.
$X_{355}\left(x_{355}=\dfrac{2(s_2^2-s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}\right)$ est le centre de son cercle de Fuhrmann (diamètre $[H Na]$).
$X_{11}\left(x_{11}=\dfrac{s_2}{s_1}\right)$ est son point de Feuerbach.
$X\left(x=\dfrac{2(s_1^4s_3^2 + s_1^3s_2^2s_3 - 4s_1^2s_2s_3^2 - 5s_1s_2^3s_3 + 4s_1s_3^3 + s_2^5 + 8s_2^2s_3^2)}{(s_1s_2 - s_3)(s_1^3s_3 - 4s_1s_2s_3 + s_2^3 + 4s_3^2)}\right)$ est le point d'intersection de la parallèle à la droite d'Euler du triangle orthique passant par $H$, et de la droite $(O Na)$
$T\left(t=\dfrac{s_1(s_1^3s_3 - 4s_1s_2s_3 + s_2^3 + 4s_3^2)}{(s_3 - s_1s_2)(2s_3 - s_1s_2)}\right)$ est le point d'intersection des droites d'Euler du triangle orthique et du triangle de contact.
Ci-joint la figure sur laquelle on voit quelques alignements.
Cordialement,
Rescassol
Réponses
-
Bonjour,
Petit détail, $X$ et $T$ ne sont pas dans l'ETC.
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir Rescassol,
Alignement de $O, Na$ et $X.$
$A,B,C\simeq\left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right].$
$Na, X\simeq\left[\begin{array}{c} -a+b+c\\ a-b+c\\ a+b-c \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u\\ v\\ w \end{array}\right]$
où
$u = -a^9 (b + c) + 3 a^5 b (b - c)^2 c (b + c) + b c (b^2 - c^2)^4 +a (b - c)^4 (b + c)^3 (b^2 - b c + c^2) $
$+ 2 a^8 (b^2 + b c + c^2) - a^3 (b - c)^2 (b + c)^3 (2 b^2 - 3 b c + 2 c^2) + a^7 (2 b^3 - b^2 c - b c^2 + 2 c^3)$
$ - a^2 (b^2 - c^2)^2 (2 b^4 - b^3 c + 6 b^2 c^2 - b c^3 + 2 c^4) - a^6 (6 b^4 + b^3 c + b c^3 + 6 c^4) $
$+ a^4 (6 b^6 - 3 b^5 c + 6 b^3 c^3 - 3 b c^5 + 6 c^6),$
$v=a^9 (b + c) - 2 a^8 b (b + c) - b (b - c)^5 c (b + c)^3 - a^7 (2 b^3 - b^2 c + b c^2 + 4 c^3) $
$+ a^6 b (6 b^3 + b^2 c - 2 b c^2 + 5 c^3) - a (b - c)^3 (b + c)^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) $
$+ a^5 c (-3 b^4 + 5 b^3 c - b^2 c^2 - 3 b c^3 + 6 c^4) + a^4 b (-6 b^5 + 3 b^4 c - 4 b^2 c^3 + 8 b c^4 - 3 c^5) $
$+ a^3 (2 b^7 - b^6 c - 3 b^5 c^2 + 6 b^4 c^3 - 4 b^3 c^4 - b^2 c^5 + 5 b c^6 - 4 c^7) $
$+ a^2 b (2 b^7 - b^6 c - 3 b^4 c^3 + 5 b^2 c^5 - 2 b c^6 - c^7) ,$
$w=a^9 (b + c) - 2 a^8 c (b + c) + b (b - c)^5 c (b + c)^3 - a^7 (4 b^3 + b^2 c - b c^2 + 2 c^3) $
$+ a^6 c (5 b^3 - 2 b^2 c + b c^2 + 6 c^3) + a^5 b (6 b^4 - 3 b^3 c - b^2 c^2 + 5 b c^3 - 3 c^4) $
$+ a (b - c)^3 (b + c)^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) + a^4 c (-3 b^5 + 8 b^4 c - 4 b^3 c^2 + 3 b c^4 - 6 c^5) $
$- a^2 c (b^7 + 2 b^6 c - 5 b^5 c^2 + 3 b^3 c^4 + b c^6 - 2 c^7) $
$- a^3 (4 b^7 - 5 b^6 c + b^5 c^2 + 4 b^4 c^3 - 6 b^3 c^4 + 3 b^2 c^5 + b c^6 - 2 c^7) .$
$O\simeq\left[\begin{array}{c} a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)\\ b^2 (a^2 - b^2 + c^2)\\ c^2 (a^2 + b^2 - c^2) \end{array}\right].$
La matrice :
$\begin{vmatrix}
a^2 (-a^2 + b^2 + c^2)& b^2 (a^2 - b^2 + c^2)& c^2 (a^2 + b^2 - c^2) \\
-a + b + c& a - b + c& a + b - c\\
u& v& w
\end{vmatrix} $ a un déterminant égal à 0.
Ainsi, les points $O, Na , X$ sont alignés.
Amicalement -
$T\simeq\left[\begin{array}{c} x_T\\ y_T\\ z_T \end{array}\right]$
où :
$x_T = a (-b (b - c)^4 c (b + c)^3 + a^7 (b^2 + c^2) - a^4 b c (b^3 + b^2 c + b c^2 + c^3) $
$+ a^5 (-3 b^4 + b^3 c - 2 b^2 c^2 + b c^3 - 3 c^4) - a (b^2 - c^2)^2 (b^4 - b^3 c + 2 b^2 c^2 - b c^3 + c^4) $
$+2 a^2 b c (b^5 - b^3 c^2 - b^2 c^3 + c^5) + a^3 (3 b^6 - 2 b^5 c + b^4 c^2 + b^2 c^4 - 2 b c^5 + 3 c^6). $
$y_Y = b (-a^8 (b + c) + a^7 c (b + c) + a (b - c)^3 c^3 (b + c)^2 + b c^2 (b^2 - c^2)^3 $
$+ a^6 (3 b^3 + 2 b^2 c + 3 c^3) - a^5 (2 b^3 c + b c^3 + 3 c^4) - a^4 (3 b^5 + b^4 c - b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 - 2 b c^4 $
$+ 3 c^5) + a^3 c (b^5 - b^4 c - 2 b^2 c^3 - b c^4 + 3 c^5) + a^2 (b^7 - 2 b^5 c^2 - b^4 c^3 + b^3 c^4 + c^7)). $
$z_T = c (-a^8 (b + c) + a^7 b (b + c) - a b^3 (b - c)^3 (b + c)^2 - b^2 c (b^2 - c^2)^3 + a^6 (3 b^3 + 2 b c^2 + 3 c^3)$
$ -a^5 (3 b^4 + b^3 c + 2 b c^3) + a^3 b (3 b^5 - b^4 c - 2 b^3 c^2 - b c^4 + c^5)$
$ - a^4 (3 b^5 - 2 b^4 c + 2 b^3 c^2 - b^2 c^3 + b c^4 + 3 c^5) + a^2 (b^7 + b^4 c^3 - b^3 c^4 - 2 b^2 c^5 + c^7)). $ -
Bonsoir,
Bouzar, $X$ est défini comme intersection de la droite $(ONa)$ et d'une autre droite.
Il est alors normal que $O, Na , X$ soient alignés.
Comment définis tu $X$ sinon ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rescassol,
$X$ est le point d'intersection de la parallèle à la droite d'Euler du triangle orthique passant par $H$, et de la droite $(ONa)$. C'est la définition figurant dans ton premier message. Effectivement, le premier alignement donné est immédiat.
Alignement de $I, \omega, Fe.$
$I,\omega,Fe\simeq\left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)\\ -a^4 + c^2 (b^2 - c^2) + a^2 (b^2 + 2 c^2)\\ -a^4 - b^4 + b^2 c^2 + a^2 (2 b^2 + c^2) \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} (b - c)^2 (-a + b + c)\\ (-a + c)^2 (a - b + c)\\ (a - b)^2 (a + b - c) \end{array}\right].$
Le déterminant :
$\begin{vmatrix}
-(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2) & -a^4 + c^2 (b^2 - c^2) + a^2 (b^2 + 2 c^2) & -a^4 - b^4 + b^2 c^2 + a^2 (2 b^2 + c^2) \\a& b & c\\ (b - c)^2 (-a + b + c) & (-a + c)^2 (a - b + c) & (a - b)^2 (a + b - c) \end{vmatrix}$
est égal à 0.
Ainsi, les points $I, \omega, Fe$ sont alignés.
Amicalement -
On a : $X355\simeq\left[\begin{array}{c} a^4 + 2 a^2 b c - a^3 (b + c) + a (b - c)^2 (b + c) - (b^2 - c^2)^2\\ -a^4 + a^3 b + b^4 - a b (b - c)^2 - b^3 c + b c^3 - c^4 + a^2 c (-b + 2 c)\\ -a^4 - b^4 +a^2 b (2 b - c) + a^3 c + b^3 c - a (b - c)^2 c - b c^3 + c^4 \end{array}\right].$
L'alignement de $X, T$ et $X355$ est vérifié.
L'alignement de $O, T$ et $I$ est vérifié.
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