Une ellipse oblique

Je n'ai pas trouvé de construction à la règle et au compas,
mais j'ai obtenu une construction approchée grâce une méthode décrite sur le forum Geogebra et que j'aime beaucoup.

Le point Contact est animé d'une vitesse égale à la distance entre le point O et la normale (n).
Cette vitesse diminue et le point Contact finit par se stabiliser : c'est la solution.

On peut alors tracer le lieu de ce point de contact lorsque Move se déplace..

En tous cas, d'un point de vue expérimental, ça ne donne rien.
Par exemple, le lieu des centres des cercles ou celui des points de contact ne sont pas aisément détectables au niveau constructible.
Mais ça ne prouve rien du tout.

EDIT : non pas le lie des centres des cercles bien sûr.

D'accord pour les points communs entre l'ellipse et ton cercle de centre O.
Mais tu es sûr de tes deux équations ?
Car j'ai tracé les paraboles et les racines ne correspondent pas du tout aux rayons des cercles.
Bonne journée,
Ludwig

Bonjour Ludwig
Je ne comprends pas ce que tu veux dire ni de quelles paraboles tu parles?
Pour lever le doute, je viens de vérifier que les rayons des cercles de gauche et de droite donnés par les deux équations correspondent bien aux valeurs numériques mesurées sur la figure.
Accessoirement, le point $A^{\prime }$ n'est pas sur la bissectrice de l'angle $\widehat{BAD}$ mais je vois que tu viens de réaliser ton erreur.
Cordialement.Poulbot

Bonjour
Suggestions :
La constructibilité des $4$ cercles est encore vraie avec un parallélogramme à la place d'un rectangle.
C'est encore vrai pour une ellipse inscrite dans un triangle : ci-dessous, le triangle et l'ellipse inscrite étant donnés, les $3$ cercles sont constructibles.
Bien cordialement
Poulbot

Bonjour Ludwig
"Pour un rectangle on a $OM=\sqrt{OA^{2}-\beta \cdot AP}$, mais pour un parallélogramme quelconque ?"
$OM^{2}=OA^{2}-AP\cdot AD\cos ^{2}\frac{\widehat{BAD}}{2}$
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour
Il résulte de ce qui précède que les $4$ cercles de Soland sont encore constructibles pour une ellipse inscrite dans un quadrilatère $ABCD$ (voir figure). Il en va de même des $5$ cercles pour (quand elle existe évidemment) l'unique ellipse inscrite dans un pentagone $ABCDE$ vu que son centre et ses points de contact avec les côtés sont constructibles.
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour Pappus
Je suis ravi de te voir à nouveau sur le forum pour y poster des messages toujours aussi attendus et pertinents.
j'ai cherché à vérifier que, comme je le soupçonnais, la conclusion de Soland était valable pour tout quadrilatère et toute conique inscrite.
Au risque de te décevoir, j'ai utilisé une méthode bestiale qui, moyennant des calculs infaisables sans ordinateur, conduit à un résultat simple.
Je suis parti de la conique $\Gamma $ tangente en $B$ à $AB$ et en $C$ à $AC$ d'équation barycentrique $x^{2}-kyz=0$.
En la paramétrant, j'ai cherché les centres des cercles tangents à $\Gamma $, $AB$ et $AC$ en distinguant ceux situés sur la bissectrice intérieure de $\widehat{BAC}$ de ceux situés sur la bissectrice extérieure. Dans chacun des $2$ cas, il y a $2$ solutions évidentes : les centres des cercles solutions tangents à $\Gamma $ en $B$ ou en $C$.
Excepté pour une parabole $\left( k=4\right) $ et après élimination des solutions évidentes (merci Pappus de m'avoir fait penser à le préciser),
je suis tombé dans chacun des $2$ cas sur une équation du quatrième degré rationnelle en $a,b,c,k$ et à solutions constructibles.
$s$ étant le demi-périmètre de $ABC$, $A^{\prime }$ le milieu de $\left[ BC\right] $ et $\Gamma $ ayant pour centre $\Omega =A+\lambda \overrightarrow{AA^{\prime }}$, je me suis alors intéressé aux points de contact de $\Gamma $ et des cercles solutions, en espérant obtenir un résultat plus simple et j'ai été exaucé :
- les points de contact de $\Gamma $ avec les cercles centrés sur la bissectrice intérieure de $\widehat{BAC}$ sont $B$, $C$ et les points $M$ de $\Gamma $ vérifiant $\Omega M^{2}=\Omega A^{2}-\lambda s\left( s-a\right) $ $\left( =\Omega A^{2}-\lambda bc\cos ^{2}\dfrac{\widehat{A}}{2}\right) $
- les points de contact de $\Gamma $ avec les cercles centrés sur la bissectrice extérieure de $\widehat{BAC}$ sont $B$, $C$ et les points $M$ de $\Gamma $ vérifiant $\Omega M^{2}=\Omega A^{2}+\lambda \left( s-a\right) \left( s-b\right) $ $\left( =\Omega A^{2}+\lambda bc\sin ^{2}\dfrac{\widehat{A}}{2}\right) $

Dans le cas de la parabole, les points de contact de tes deux cercles avec la parabole sont symétriques par rapport à son axe.

Amicalement. Poulbot

Bonne Nuit Poulbot et fais de beaux rêves!
Merci pour tes éloges bien immérités.
Tout simplement, je me fatigue très vite à mon âge dit canonique et j'avais seulement besoin de décompresser après une overdose de géométrie.
La jolie configuration de Soland pose beaucoup de questions auxquelles tu as répondu en partie en n'en donnant que le résultat.
C'est cela qui m'a sorti de ma léthargie. Je voulais absolument savoir comment tu t'y étais pris.
Je m'étais limité au cas de la parabole pensant que les calculs seraient plus simples mais je me trompais lourdement et comme toi j'ai dû me résoudre à utiliser un logiciel de calcul formel.
La mise en équation te parait simple mais pour tes lecteurs dont la plupart ont déjà du mal à écrire l'équation d'une droite passant par deux points, elle doit sembler bien surréaliste!
Je comprends que tu n'ais pas le temps de rentrer dans les détails sordides, aussi vais-je essayer de le faire à ta place.
Chaque étape de tes calculs est déjà un petit casse-tête pour quiconque ne connaissant de la théorie des coniques que leur classification.
Ce qui est fascinant, c'est le va et vient continuel entre calculs laborieux et figures surprenantes.
La figure ci-dessous est une tentative d'explication de la possibilité de construire ces cercles à la règle et au compas.
En effet pour chaque bissectrice, il y a deux solutions triviales qu'on devrait pouvoir retrouver dans tes calculs qui en prévoient quatre!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Poulbot
L'homme à l'oeil de lynx toujours prêt à dénicher une perle dans une figure apparemment anodine.
J'ai fait ta figure ci-dessous où j'ai tracé le foyer $F$, la directrice $D$ et l'axe $\Delta$ de la parabole.
Les points de contact $U$ et $V$ sont effectivement symétriques par rapport à l'axe $\Delta$, surprenant et j'aurais dû y penser!
Tu as donc obtenu des équations de degré $6$ et non $4$ comme je l'avais cru, encore un nouveau casse-tête qu'il va me falloir expliquer!
Mais je suis déjà revenu à ma léthargie que je quitte avec une grande difficulté!
Quand pourrai-je revenir sur le forum, je ne le sais plus moi-même?
En tout cas, grand merci de faire travailler mes vieux neurones amnésiques.
Je suis devenu bien incapable de proposer quoi que ce soit d'intéressant maintenant!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Au moins proposer mes propres calculs dans un premier temps?

Bonsoir à tous, et spécialement au cher Pappus, dont je salue bien bas le réveil, que j'attendais avec, je dois l'avouer, de plus en plus d'inquiétude à mesure que cette attente se prolongeait ...
Je me permets de rebondir sur la figure du triangle, d'une ellipse et des trois cercles tangents : y a-t-il en général une relation entre le triangle de départ et le triangle formé par les centres des trois cercles, et si oui, laquelle ? Similitude, homothétie ou autre ? Ou bien n'est-ce valable que pour des cas particuliers comme l'ellipse de Steiner, par exemple ? Et que donnerait un enchâssement de plusieurs couples successifs d'un triangle et d'une ellipse inscrite ?
Je vais essayer de faire une figure à peu près potable ...
Bien cordialement
JLB

Re-bonsoir à tous,
@ Poulbot
Je ne comprends pas pourquoi, pour un parallélogramme, la formule que tu indiques est asymétrique en ce sens qu'elle fait intervenir le produit AP.AD, soit le produit du segment AP par le côté AD ? j'aurais plutôt vu le produit des deux segments partant de A et aboutissant aux points de tangence ...
Cordialement
JLB

Bonjour à tous
J'ai fait mes calculs dans un repère orthonormé porté par les bissectrices de la paire $(T,T')$.
Il sera intéressant de les comparer avec ceux de Poulbot qui, si j'ai bien compris, sont menés en coordonnées barycentriques par rapport au triangle $CAB$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Oui, c'est certain, il n'est pas raisonnable de montrer une construction effective à la règle et au compas
si celle-ci nécessite 37 droites et 22 cercles..

Il est vrai aussi que la résolution algébrique
du problème correspondant à l'intersection d'une ellipse et d'un cercle concentriques était facile.

Mais, en fait, je crois que secrètement je nourrissais l'espoir que la construction demandée par Soland ne soit pas très compliquée.

D'ailleurs, pourquoi devrait-elle l'être, compliquée, cette construction à la règle et au compas ?
Je ne vois pas de raison claire.

Admettons, par exemple, qu'on ai résolu le système :

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
$x^2+y^2=R^2$

Une solution est par exemple quelque chose comme
$x= f(a,b,R) $, solution qui renvoie effectivement à une construction à la règle et au compas.

Qu'est-ce qui nous dit qu'il n'y a pas une autre construction à la règle et au compas qui ne correspond pas (ni de près ni de loin) à la fonction f ?

Mon cher Ludwig
Regarde les formules que j'ai obtenues pour obtenir les cercles de Soland dans le cas de la parabole, elles montrent clairement que ces cercles sont constructibles à la règle et au compas à partir de la donnée des points $A$, $B$, $C$.
Mais cette construction n'est pas facile à mettre en oeuvre.
Mes calculs prouvent l'existence d'une telle construction mais en ce qui concerne le tracé de ma figure, je me suis contenté d'utiliser les outils de mon logiciel.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je pense qu'au lieu de s'obstiner à employer la règle et le compas, il vaut mieux s'entraîner à utiliser du mieux possible les logiciels de géométrie existants. Il faut vivre avec son temps!
Quant à la solution de ce système, ce n'est certainement pas:
par exemple $x=f(a,b,R)$
Ce n'est quand même pas trop demander que de résoudre explicitement ce système et de montrer que cela entraine la construction que j'ai suggérée!

Bonjour
Soient $F$ et $S$ le foyer et le sommet de la parabole $\Gamma $ et $T,T^{\prime }$ les tangentes menées d'un point $A$ à $\Gamma $ (pour les construire, il suffit de remarquer qu'elles coupent la tangente ausommet sur le cercle de diamètre $\left[ FA\right] $).
Si on se place dans le repère orthonormé d'origine $S$ où $\Gamma $ a pour équation $y^{2}=2px$ avec $p>0$, l'abscisse commune des points de contact avec $\Gamma $ des deux cercles de Pappus (tangents à $T,T^{\prime }$ et $\Gamma $) est $\dfrac{1}{2}\left( \left\Vert \overrightarrow{FA}\right\Vert +\overline{FA^{\prime }}\right) $ où $A^{\prime }$ est la projection de $A$ sur l'axe de $\Gamma $.
Bien cordialement. Poulbot