Cercles tangents

Bonjour Bouzar
Si l'on veut rester français, ton $A$-dumpty point de $ABC$ ressemble furieusement au $A$-sommet du deuxième triangle de Brocard qui est la projection de $O$ sur la $A$-symédiane et aussi le foyer de la parabole tangente en $B$ à $AB$ et en $C$ à $AC$.
Voir Jean-Louis Ayme ou MathWorld ou ….
Malheureusement ce $A$-sommet n'est intérieur à $ABC$ que si $\widehat{BAC}$ est aigu.

En outre, la définition du point $T$ est très douteuse car la demi-droite $JH$ peut avoir $2$ points communs avec le cercle $\left( O\right) $ circonscrit à $ABC$ et un seul convient pour ton résultat. Il serait peut-être préférable d'utiliser le fait que la droite $JH$ et la parallèle en $A$ à $EF$ se coupent sur $\left( O\right) $ et désigner par $T$ l'autre point commun à la droite $JH$ et au cercle $\left( O\right) $.
Bref, je ne sais pas où tu as dégotté ce truc mais il faudrait en modifier un peu l'énoncé.

Amicalement. Poulbot

Bonjour Bouzar, Poulbot,
Je vous prie de m'excuser si je me trompe, mais je n'ai pas l'impression que la droite JH et la parallèle en A à EF se coupent sur (O), du moins sur la figure faite par Bouzar ...
Bien cordialement
JLB
Effectivement, je me trompais ! Désolé pour cette intervention absolument infondée, je vous prie de la considérer "nulle et non avenue" !!!

Rebonjour, Bouzar, Poulbot, bonjour à tous,
Que la droite JH et la parallèle en A à EF se coupent sur (O), et qu'il en aille de même avec toute droite passant par H, est-ce un résultat bien connu, une propriété de l'orthocentre, ou bien ? ... A quoi cela se rattache-t-il ?
Merci d'excuser mon inculture en géométrie !
Bien cordialement
JLB

Bonjour,

clc, clear all, close all 

syms a b c; % Sommets de ABC

syms aB bB cB; % Conjugués

aB=1/a; % Truc de Morley:
bB=1/b; % A,B,C sur le cercle unité
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;

s1=a+b+c;  % Fonctions symétriques
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

syms s1B s2B s3B

s1B=s2/s3; % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-------------------------------------------------------------------------

syms u real

% Point E défini par AE = u AC (en vecteurs)

e=a+u*(c-a);
eB=aB+u*(cB-aB);

% Orthocentre H du triangle ABC

h=s1;
hB=s1B;

% Droite (EF) (ou (HE))

[pef qef ref]=DroiteDeuxPoints(h,e,hB,eB);

% Point F d'intersection des drooites (AB) et (HE)

[f fB]=IntersectionDeuxDroites(pef,qef,ref,1,a*b,-a-b);

f=Factor(f)

% On trouve:

f=(b*(a-c)*(2*a+b+c)*u - a*(a+c)*(b+c))/((a-c)*(b-c)*u -(a+c)*(b+c))

% Centre J et carré du rayon du cercle circonscrit au triangle AEF

[j jB R2]=CercleTroisPoints(a,e,f,aB,eB,fB);

j=Factor(j)

% Point de Lemoine du triangle AEF

[l lB]=PointDeLemoine(a,e,f,aB,eB,fB);

l=Factor(l)

% On trouve:

l=(b*(a-c)^2*(b-c)*(3*a*b-a*c+b*c+b^2)*u^2 - 2*(b+c)*(a-c)*(2*a^2*b^2-a^2*b*c+a^2*c^2+4*a*b^2*c+b^3*c+b^2*c^2)*u + a*(b+c)^2*(a^2*b+a^2*c-a*b^2+6*a*b*c-a*c^2+b^2*c+b*c^2))/(2*b*(a-c)^2*(b-c)^2*u^2 - (b+c)*(a-c)*(b-c)*(3*a*b-a*c+3*b*c-b^2)*u + (b+c)^2*(a^2*b+a^2*c-a*b^2+6*a*b*c-a*c^2+b^2*c+b*c^2));

% Point K, projeté othogonal de J sur (AL)

[k kB]=ProjectionPointDroite(j,a,l,jB,aB,lB);

k=Factor(k)

% On trouve:

k=((2*a+b+c)*(b*(c-a)*u + a*(b+c)))/(-(a-c)*(b-c)*u + (b+c)*(2*a+b+c));

% Droite (KE)

[pke qke rke]=DroiteDeuxPoints(k,e,kB,eB);

% Droite (KF)

[pkf qkf rkf]=DroiteDeuxPoints(k,f,kB,fB);

% Point P

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(pke,qke,rke,aB,a,-2);

p=Factor(p)

% On trouve:

p=((2*a^3*b^2 - a^3*b*c - a^3*c^2 + a^2*b^3 - 3*a^2*b^2*c + a^2*b*c^2 + a^2*c^3 - a*b^3*c + a*b^2*c^2)*u - 2*a^3*b^2 - 2*a^3*b*c - a^2*b^3 - a^2*b^2*c + a^2*b*c^2 + a^2*c^3 + 2*a*b^2*c^2 + 2*a*b*c^3)/((a^2*b^2 - a^2*b*c - 2*a*b^2*c + 2*a*b*c^2 + b^2*c^2 - b*c^3)*u - 2*a^2*b^2 - 2*a^2*b*c - a*b^3 - a*b^2*c + a*b*c^2 + a*c^3 + 2*b^2*c^2 + 2*b*c^3);

% Point Q

[q qB]=IntersectionDeuxDroites(pkf,qkf,rkf,aB,a,-2);

q=Factor(q)

% On trouve:

q=((a^3*b^2 - a^3*b*c + 2*a^2*b^3 - 2*a^2*b^2*c - 2*a*b^3*c + a*b^2*c^2 + a*b*c^3)*u + 2*a^3*b*c + 2*a^3*c^2 - a^2*b^3 - a^2*b^2*c + a^2*b*c^2 + a^2*c^3 - 2*a*b^3*c - 2*a*b^2*c^2)/((- a^2*b*c + a^2*c^2 + a*b^3 - a*b^2*c + a*b*c^2 - a*c^3 - b^3*c + b^2*c^2)*u + 2*a^2*b*c + 2*a^2*c^2 - a*b^3 - a*b^2*c + a*b*c^2 + a*c^3 - 2*b^3*c - 2*b^2*c^2);

% Inverse de T par rapport au cercle circonscrit au triangle ABC

t=Factor(j+R2/(hB-jB))
tB=Factor(jB+R2/(h-j))

% Il est bien sur le cercle circonscrit au triangle ABC

NulT=Factor(t*tB-1) % Égal à 0, donc oui

% On trouve:

t=(-a*b*(a-c)*u + a*(a+c)*(b+c))/(c*(a-c)*u + (a+c)*(b+c))

% Cercle circonscrit au triangle TPQ

[om omB r2]=CercleTroisPoints(t,p,q,tB,pB,qB);

om=Factor(om)

% On trouve:

om=a*(a+b)^2*(b-c)^2*((a+c)*(b+c) - b*(a-c)*u)^2/((-b*(a-c)^2*(b-c)*u + (b+c)*(2*a^2*b+a*b^2-a*c^2-2*b*c^2))*((a-c)*(b-c)*(-b^2+a*c)*u + (b+c)*(-2*a^2*c+a*b^2-a*c^2+2*b^2*c)));

% Omega, O et T sont alignés, donc ABC et AEF sont tangents en T

M=[om omB 1; 0 0 1; t tB 1];  

Nul=Factor(det(M)) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol