Cercles tangents
Bonsoir,
Voici un autre problème.
Soit $H$ l'orthocentre d'un triangle $ABC$. Une droite passant par $H$ intersecte $AC$ et $AB$ respectivement en $E, F$. Soit $J$ le centre du cercle circonscrit au triangle $AEF$. La droite $JH$ et la parallèle en $A$ à $EF$ se coupent sur $(O)$ et on désigne par $T$ l'autre point commun à la droite $JH$ et au cercle $(O)$. Soit $K$ le A-sommet du deuxième triangle de Brocard du triangle $AEF$. La tangente en $A$ au cercle circonscrit au triangle $ABC$ rencontre respectivement $KE$ et $KF$ en $P, Q$.
Montrer que le cercle circonscrit au triangle $TPQ$ est tangent au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Amicalement
Voici un autre problème.
Soit $H$ l'orthocentre d'un triangle $ABC$. Une droite passant par $H$ intersecte $AC$ et $AB$ respectivement en $E, F$. Soit $J$ le centre du cercle circonscrit au triangle $AEF$. La droite $JH$ et la parallèle en $A$ à $EF$ se coupent sur $(O)$ et on désigne par $T$ l'autre point commun à la droite $JH$ et au cercle $(O)$. Soit $K$ le A-sommet du deuxième triangle de Brocard du triangle $AEF$. La tangente en $A$ au cercle circonscrit au triangle $ABC$ rencontre respectivement $KE$ et $KF$ en $P, Q$.
Montrer que le cercle circonscrit au triangle $TPQ$ est tangent au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Amicalement
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Réponses
Si l'on veut rester français, ton $A$-dumpty point de $ABC$ ressemble furieusement au $A$-sommet du deuxième triangle de Brocard qui est la projection de $O$ sur la $A$-symédiane et aussi le foyer de la parabole tangente en $B$ à $AB$ et en $C$ à $AC$.
Voir Jean-Louis Ayme ou MathWorld ou ….
Malheureusement ce $A$-sommet n'est intérieur à $ABC$ que si $\widehat{BAC}$ est aigu.
En outre, la définition du point $T$ est très douteuse car la demi-droite $JH$ peut avoir $2$ points communs avec le cercle $\left( O\right) $ circonscrit à $ABC$ et un seul convient pour ton résultat. Il serait peut-être préférable d'utiliser le fait que la droite $JH$ et la parallèle en $A$ à $EF$ se coupent sur $\left( O\right) $ et désigner par $T$ l'autre point commun à la droite $JH$ et au cercle $\left( O\right) $.
Bref, je ne sais pas où tu as dégotté ce truc mais il faudrait en modifier un peu l'énoncé.
Amicalement. Poulbot
J'ai modifié en conséquence l'énoncé.
Amicalement
Je vous prie de m'excuser si je me trompe, mais je n'ai pas l'impression que la droite JH et la parallèle en A à EF se coupent sur (O), du moins sur la figure faite par Bouzar ...
Bien cordialement
JLB
Effectivement, je me trompais ! Désolé pour cette intervention absolument infondée, je vous prie de la considérer "nulle et non avenue" !!!
Dans le nouvel énoncé de Bouzar, l'hypothèse $\widehat{BAC}$ aigu est inutile.
Amicalement. Poulbot
Que la droite JH et la parallèle en A à EF se coupent sur (O), et qu'il en aille de même avec toute droite passant par H, est-ce un résultat bien connu, une propriété de l'orthocentre, ou bien ? ... A quoi cela se rattache-t-il ?
Merci d'excuser mon inculture en géométrie !
Bien cordialement
JLB
Le point $T$ est, plus simplement, l'inverse de $H$ par rapport au cercle $AEF$. Mais j'avoue être totalement incapable de prouver ton résultat autrement qu'en utilisant des calculs bien pénibles. Si tu as une solution, je donne ma langue au chat.
Amicalement. Poulbot
Cordialement,
Rescassol
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Etude 3.pdf p. 30...
Sincèrement
Jean-Louis