Redressement d'un champ de vecteurs

Je te propose de regarder ce qui se passe sur $\R$.

On prend un champ de vecteurs $\vec X : x \mapsto u(x) \partial_x$, et un point $x_0$ où $\vec X_{x_0} \neq 0$.

Alors le flot $\phi_t(x_0) = x_t$ résout le système différentiel :
$\partial_t\phi_t(x_0) = \vec X_{\phi_t(x_0)}$, avec $\phi_0(x_0) = x_0$, et $x_t \neq \pm\infty$.

En d'autres termes : $\dot x_t = u(x_t)$, d'où : $\int_{x_0}^{x_t} \frac{ds}{u(s)} = t$ tant que $u(x_t) \neq 0$.

Pour prendre un exemple simple $X_x = x \cdot \partial_x$, et alors : $x_t = x_0 \cdot \exp(t)$.

Dans ces nouvelles coordonnées locales $a:t \mapsto x_t$, on a tout simplement (définition du flot !) $a_* \partial_t = \partial_t x_t = \vec X_{x_t}$, donc $a^* (\vec X) = \partial_t$. (on a redressé le champ $\vec X$ autour de $x_0$ !)

En dimension quelconque c'est le même principe, mais il y a plus de paramètres, car les orbites du flot tracent des lignes laminaires au voisinage de $x_0$ (je crois que ça s'appelle une foliation un feuilletage ?), et donc pour paramétrer un voisinage de $x_0$, il faut choisir :
1. un temps $t$,
2. une orbite du flot : par chance l'espace des orbites s'identifie à une hypersurface transverse au champ $\vec X$ au voisinage de $x_0$.

Ok n'hésite pas si tu as des questions, ça fait longtemps que je n'ai plus fait de géométrie différentielle.

Ce que je veux dire c'est que c'est un truc assez tautologique que, vu au travers de son flot, le champ de vecteur soit redressé. (puisque justement, le flot consiste à suivre le champ de vecteurs !)