La configuration de Descartes
Elle comporte quatre cercles tangents deux à deux.
Trois cercles T traitillés deux à deux orthogonaux passent par quatre points de contact chacun.
Une seconde configuration, duale de la première, a les mêmes points de contact.
Reconstituer le dessin connaissant les centres des cercles T .
Si l'on préfère le calcul, on peut prendre comme centres des cercles T
les points $(0,0)$, $(3,2)$ et $(2,-1)$.
Trois cercles T traitillés deux à deux orthogonaux passent par quatre points de contact chacun.
Une seconde configuration, duale de la première, a les mêmes points de contact.
Reconstituer le dessin connaissant les centres des cercles T .
Si l'on préfère le calcul, on peut prendre comme centres des cercles T
les points $(0,0)$, $(3,2)$ et $(2,-1)$.
Réponses
-
La construction est possible si les angles du triangle donné sont aigus.
Dans le cas du triangle proposé les rayons des cercles orthogonaux sont 1, 2, 3.
Le béaba quoi...(:D -
Une inversion bien choisie transforme
le dessin de mon premier post en celui-ci : -
Les rayons $\{r_a,r_b,r_c\}$ sont faciles à calculer à partir de
$a^2=r_b^2+r_c^2$, $b^2=r_c^2+r_a^2$, $c^2=r_a^2+r_b^2$,
mais je n'ai pas trouvé de construction élégante.
Le calcul des huit courbures du kiss se fait en projetant stéréographiquement
l'archétype (à savoir la boule de pétanque) depuis l'un de ses points, à priori quelconque,
sur le plan tangent au point antipode.
Soit $u$, $v$, $w$ les courbures respectives des trois cercles mutuellement orthogonaux.
Alors les huit courbures du double kiss sont proportionnelles à
$$
\sqrt{u^2+v^2+w^2}\pm u\pm v\pm w
$$
Les quatre courbures pour lesquelles le produit des $\pm =1$ vérifient bien le théorème de Descartes. Les quatre autres aussi.
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