Aire et volume, preuve des formules

Merci pour les explications !

Je n'avais jamais fait le lien entre la théorie de la mesure et les calculs d'aire / volume. Si j'ai bien compris, pour la formule de l'aire d'un carré, je dis que le carré de côté $ a $ peut être représenté dans un certain repère du plan par le borélien $ C= [0,a] \times [0,a] $ or on a $ \lambda (C) = a^2 $, on en déduit que l'aire d'un carré de côté $a$ est égale à $ a^2 $.

Cependant, je n'arrive pas à localiser le point qui m'importe pour que ce raisonnement tienne la route, à savoir que la mesure de Lebesgue d'un borélien donne bien son aire/volume (je ne sais pas comment ça s'appelle en dimension quelconque ?).
De la façon dont la mesure de Lebesgue est introduite dans mon cours (par un théorème de Carathéodory) il semblerait plutôt que l'on définit la mesure de Lebesgue de façon à ce que "ça marche" en connaissant déjà les formules d'aire et de volume du cube, et pas dans l'optique de démontrer ses formules.

C'est le cœur du problème, je n'ai pas de définition valable pour l'aire. Dans un cours de 6ème je lit "l'aire d'une surface est sa mesure dans une unité d'aire donnée", et je n'en ai pas trouvé d'autre. Il y a bien la page wikipédia qui donne 4 propriétés que doit vérifier une aire.

Du coup la mesure de Lebesgue vérifie bien ces 4 propriétés. OK.

Je suis un peu perdu. Tout ce que je cherche c'est un moyen de partir d'une définition claire et d'arriver à comprendre d'où sortent les formules.

Le fait que les formules étaient connues avant la théorie de l'intégration montre qu'il est possible de les retrouver avec des outils élémentaires. Ou alors elles n'ont jamais été prouvées, juste observées.

Dans mon effort pour tout reconstruire j'ai aboutit à ça :

Au niveau collège, ou avant l'invention de l'intégrale :

Définition : l'aire d'une surface est sa mesure dans une unité d'aire donnée.

On choisit comme unité d'aire un carré de côté 1 "quelque chose" (1 mètre par exemple).

On admet ensuite que l'aire d'une rectangle est donné par la formule Longueur*largeur, et on l'explique intuitivement de x façons différentes qui n'en constituent pas pour autant des preuves.

On coupe, on recoupe, et on démontre les formules pour les autres surfaces.

On procède de même pour les volumes par analogie avec l'aire.

Après l'invention de l'intégrale :

On définit la mesure de Lebesgue de façon à ce que l'aire d'un rectangle que l'on a admise soit bien la mesure de Lebesgue d'un rectangle. Comme tout part du rectangle, l'aire d'une surface est donc bien la mesure de Lebesgue du borélien correspondant.



Mais je ne peux pas croire que l'on a admis la formule pour le rectangle, ça me parait trop gros ??!

Edit: j'ai trouvé ce que je cherchais, la formule de l'aire du rectangle se démontre facilement dans le cas où les longueurs sont entières, puis rationnelles, et pour des réels en passant à la limite en utilisant le Théorème des gendarmes après avoir encadré le rectangle entre deux rectangles de dimensions rationnelles.

Finalement tout est bien qui finit bien.

Non bien-sûr il faut définir ce qu'est une surface avant de pouvoir définir l'aire, (en tout cas avec la définition que j'en ai donnée), je disposais de la notion intuitive décrite par Dom, sans grande précision.

Je ne connaissais pas la méthode d'exhaustion d'Archimède ! On pouvait donc retrouver les résultats de cette façon avant la notion de limite, super !

J'avais lu un peu de travers la page wikipédia sur l'aire mais en fait elle répond bien à mes questions. On y lit "un domaine d'un espace euclidien a une aire s'il est un ensemble mesurable pour la mesure de Jordan" Puis dans l'article sur la mesure de Jordan on lit que la mesure de Lebesgue en est une extension plus pratique d'utilisation.

Donc au final, la définition moderne de l'aire s'appuie sur la notion d'ensemble mesurable, et par définition l'aire d'un domaine mesurable est sa mesure de Lebesgue.

Toute ma confusion venait du fait que je n'avais pas connaissance des différentes façons d'introduire ces notions, et ce pour diverses périodes de l'histoire des mathématiques. J'y vois un peu plus clair à présent.

Merci beaucoup pour votre aide !