Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
Médianes d'un quadrilatère
dans Géométrie
Bonjour,
Je m'intéresse aux "médianes" d'un quadrilatère convexe ; par "médiane" j'entends le segment reliant un sommet au milieu d'un des deux côtés opposés à ce sommet.
Si le quadrilatère est un parallélogramme, les médianes divisent en trois les diagonales.
Y a-t-il d'autres propriétés dignes d'intérêt ?
A+
Je m'intéresse aux "médianes" d'un quadrilatère convexe ; par "médiane" j'entends le segment reliant un sommet au milieu d'un des deux côtés opposés à ce sommet.
Si le quadrilatère est un parallélogramme, les médianes divisent en trois les diagonales.
Y a-t-il d'autres propriétés dignes d'intérêt ?
A+
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Réponses
Je ne sais quel pourrait être l'éventuel intérêt de la chose, mais voici ce que je viens de constater : si tu traces les quatre de tes "médianes" issues de deux sommets opposés A et C, elles se coupent deux à deux, et le segment qui joint ces deux points d'intersection est parallèle à la diagonale BD.
Je n'ai pas encore cherché de démonstration, mais je suppose que ce doit être assez simple ...
Bien cordialement
JLB
En fait, ce résultat semble assez général, on trouve la même chose avec des points situés au quart des côtés, à compter des deux premiers sommets, voir la deuxième figure.
En effet c'est simple à condition de savoir ce qu'est un groupe et en particulier le groupe des homothéties-translations du plan affine.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Malheureusement, je fais partie de ces "pauvres gens" qui ont essuyé les plâtres de l'introduction de la théorie des ensembles en classe de cinquième et dans les autres classes de collège, dans les années 1963 et suivantes : c'est dire que si je sais assez vaguement ce qu'est un groupe, un anneau ou un corps de nombres, je n'ai pas eu ensuite, du moins si mes souvenirs sont exacts, cette première expérience ayant assez vite tourné en eau de boudin avant d'être mieux reprise ultérieurement, l'occasion de voir les homothéties et les translations en tant que formant un groupe ... Quant à l'application de la théorie des groupes en cristallographie avec les groupes de symétrie, abordée au cours de mes années d'études universitaires de chimie, j'avoue ne pas y avoir compris grand-chose ...
Mais cela ne m'empêche absolument pas de bien comprendre ta figure et d'y repérer en effet tout un tas (un "groupe" ?) d'homothéties de centres respectifs B, E et D qui expliquent bien mon observation ... ainsi que, dans la figure suivante, l'alignement des points d'intersection sur les médianes des deux triangles situés de part et d'autre de la diagonale "centrale" du quadrilatère ...
Merci de m'avoir aidé à comprendre mes figures, même sans ce mystérieux (pour moi, en tout cas !) "groupe des homothéties-translations du plan affine" ... Au fait, le bon vieux plan euclidien en est-il privé, lui ?
Bien cordialement
JLB
Les barycentres eux aussi ne sont pas nécessaires.
Heureusement d'ailleurs puisqu'ils ont disparu de la circulation!
On peut donc s'en tirer à l'ancienne!
Cela ne veut pas dire que ce sera plus simple que par les barycentres ou par les groupes!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Après tout, peut-être que la solution à l'ancienne est la plus simple.
$G$ et $G'$ sont les centres de gravité respectifs des triangles $ABD$ et $BCD$, ce qui prouve les alignements $AGE$ et $CG'E$ où $E$ est le milieu de $BD$.
Il ne reste plus qu'à appliquer l'axiome de Thalès mais comment au juste?
Il faut quand même dire que si on ne connait ni la théorie des barycentres ni celle des groupes, on ne peut aller très loin en géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci pour toutes ces précisions.
A-t-on aussi des propriétés intéressantes pour les médiatrices, hauteurs et bissectrices d'un quadrilatère ?
A+
Voici la solution par les défunts barycentres, elle aussi très courte!
$G=\dfrac13(A+B+D)$, $G'=\dfrac 13(B+C+D)\ $
$\overrightarrow{GG'}=G'-G=\dfrac 13(B+C+D)-\dfrac13(A+B+D)=\dfrac 13(C-A)=\dfrac 13\overrightarrow{AC}$
Mais que d'abstraction sous-jacente!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Et enfin via le groupe des homothéties-translations.
$h{(B,\frac 23)}.h{(D,\frac 12)}=h{(E,\frac 13)}$
Mais bof, plus rien à cirer!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Comme tu le dis toi-même, Pappus, que d'abstraction, je dirais même qu'avec le groupe des homothéties-translations, vu l'extrême concision de ta formule, franchement, cela confine à l'ésotérisme ! ::o
Eh bien, vois-tu, Pappus, je ne suis pas du tout certain qu'il soit bien judicieux d'employer a priori ces moyens-là pour résoudre n'importe quel problème de géométrie ... il me semble qu'on gagnerait à renverser plus souvent l'adage "Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?"
Et quand tu dis
> Il faut quand même dire que si on ne connait ni la théorie des barycentres ni celle des groupes,
> on ne peut aller très loin en géométrie!
toute la question est de savoir jusqu'où on veut aller, et si on veut aller très loin !
Je me suis procuré les livres de géométrie analytique de Bruno Ingrao et de Jean-Denis Eiden : je n'ai pas honte de dire que je n'ai absolument pas les bases (et jamais sans doute je ne les aurai ...) pour comprendre ne serait-ce que le vingtième de ce qu'ils exposent, mais cela ne m'empêche pas de prendre plaisir à leur lecture ... Leur style, vraiment très agréable, y est pour beaucoup, d'ailleurs !
Pour moi, il me semble l'avoir déjà dit dans un autre fil, je me contente de faire de la géométrie à mon niveau, que je sais assez bas ...
Pour en revenir à notre quadrilatère, que penses-tu de ma dernière figure, avec laquelle j'ai essayé de généraliser la question ? Comment prouver que si, en reprenant tes notations, Aa/AB = Ad/AD = Cb/CB = Cc/CD = k, les points d'intersection des couples de droites (Ac et Cd) et (Ab et Ca) ont respectivement pour lieux, quand k varie de 0 à 1, les médianes issues de D et B des triangles ADC et ABC ? Je subodore en outre que le rapport k peut très bien prendre une valeur située ailleurs sur l'axe des réels qu'entre 0 et 1, et qu'alors les lieux s'étendent aux droites portant lesdites médianes ...
S'il-te-plaît, ne donne pas la réponse tout de suite, laisse-moi un peu de temps pour chercher !
Bien amicalement
JLB
j'adore la preuve par les barycentres, concise, efficace.
Encore faut-il qu'ils soient enseignés dans le cadre de la théorie des espaces affines?
Est-ce encore le cas?
Amicalement
[small]p[/small]appus
(je pense, en tout cas sûrement pas au collège, au lycée on me l'a appris, mais dans la mesure où le traitements de données de données prend une place de plus en plus importante dans nos vies et dans la vie tout court, les statistiques et probabilités se substituent petit à petit à la géométrie à l'ancienne, l'informatique à l'algèbre, je dis cela sans connaissance de cause mais selon une vision que j'ai de la société comme elle évolue)
néanmoins on peut s'en sortir via l'algèbre linéaire (qui je l'espère est encore enseignée) en "vectorialisant" pour chaque transformation le choix d'une origine judicieuse (faut-il que les transformations soient enseignées), je remarque au passage qu'il n'y a pas de projection sur une droite parallèlement à une autre dans Géogébra, ni sa copine, donc je pense que les transformations de Géogébra n'engendrent pas le groupe affine, et c'est dommage "aucun parallèle à faire ici")
Je n'utilise pas Geogebra car je suis trop habitué à un autre logiciel mais certainement rien n'empêche de créer avec Geogebra toutes les macros nécessaires pour simuler la géométrie affine ou toute autre géométrie comme les géométries circulaire, projective, hyperbolique, etc...
Amicalement
[small]p[/small]appus