Aire d'un quadrilatère inscriptible

Bonjour,

En parcourant Internet, je suis tombé par hasard sur l'astuce suivante.

Soit $S$ l'aire d'un quadrilatère inscriptible de côtés $a, b, c, d$ ; supposons que je sache que $S^2$ est une fonction entière de degré 4 en $a, b, c, d$, mais que j'aie oublié la formule exacte.
Voici comment la retrouver :
si la somme de trois côtés égale le quatrième, alors $S = 0$ ; donc
$S^2 = k(a + b + c - d)(b + c + d - a)(c + d + a - b)(d + a + b - c)$ et le cas particulier du carré montre que $k = 1/16$.
Cerise sur le gâteau, avec d = 0 on retrouve la formule de Héron.

A+