Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
Aire d'un quadrilatère inscriptible
dans Géométrie
Bonjour,
En parcourant Internet, je suis tombé par hasard sur l'astuce suivante.
Soit $S$ l'aire d'un quadrilatère inscriptible de côtés $a, b, c, d$ ; supposons que je sache que $S^2$ est une fonction entière de degré 4 en $a, b, c, d$, mais que j'aie oublié la formule exacte.
Voici comment la retrouver :
si la somme de trois côtés égale le quatrième, alors $S = 0$ ; donc
$S^2 = k(a + b + c - d)(b + c + d - a)(c + d + a - b)(d + a + b - c)$ et le cas particulier du carré montre que $k = 1/16$.
Cerise sur le gâteau, avec d = 0 on retrouve la formule de Héron.
A+
En parcourant Internet, je suis tombé par hasard sur l'astuce suivante.
Soit $S$ l'aire d'un quadrilatère inscriptible de côtés $a, b, c, d$ ; supposons que je sache que $S^2$ est une fonction entière de degré 4 en $a, b, c, d$, mais que j'aie oublié la formule exacte.
Voici comment la retrouver :
si la somme de trois côtés égale le quatrième, alors $S = 0$ ; donc
$S^2 = k(a + b + c - d)(b + c + d - a)(c + d + a - b)(d + a + b - c)$ et le cas particulier du carré montre que $k = 1/16$.
Cerise sur le gâteau, avec d = 0 on retrouve la formule de Héron.
A+
Réponses
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inscriptible dans un cercle...et convexe (...) mais ce n'est pas très grave
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Bonjour
$S=\sqrt{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) \left( s-d\right) }$ où $s$ est le demi-périmètre du quadrilatère, me semble assez facile à mémoriser.
Cordialement. Poulbot -
RE
Ce procédé (Olry Terquem) pourrait-il permettre de retrouver d'autres formules moins aisées à retenir ?
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
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Bonjour!
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