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Quadrilatère tangent
dans Géométrie
Bonjour,
Un petit exercice sympa :
Etant donné un quadrilatère convexe inscriptible, en déduire par une construction simple un quadrilatère tangent.
A+
Un petit exercice sympa :
Etant donné un quadrilatère convexe inscriptible, en déduire par une construction simple un quadrilatère tangent.
A+
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Réponses
en cherchant ce que c'était un quadrilatère tangent sur internet , je suis tombé sur une solution:
(via le site :site sympa sur les quadrilatère au collège et en plus Descartes est là))
droites orthogonales aux points de contact.
Construire un quadrilatère tangentiel
Cotés : 38, 65, 68, 95
rayon inscrit : 60
(J'ai des problèmes de clavier)
Malgré tes problèmes de clavier, tu nous as fourni un bien joli exercice.
Quand le quadrilatère $ABCD$ se déforme avec les longueurs des côtés données, les points $A$ et $D$ étant fixés, il reste toujours circonscriptible à cause du théorème de Pitot (1695-1771), (serait-ce celui des tubes?).
Le lieu du centre $\Omega$ du cercle $\gamma$ tangent au quadrilatère $ABCD$ est un cercle $\Gamma$.
C'est un théorème datant de 1879 et dû à un très grand géomètre français dont les connaissances ne se limitaient heureusement pas comme aujourd'hui aux axiomes de Thalès et de Pythagore.
Le logiciel me fournit un rayon de 30 pour le cercle $\Gamma$.
Ta construction ne serait pas possible avec les chiffres que tu nous as imposés!
Amicalement
[small]p[/small]appus
2 solutions
J'ai un trapèze
Les autres solutions éventuelles c'est à dire les tiennes s'obtiennent sans doute en tenant compte de la remarque initiale de Darboux qui souligne que l'énoncé de Pitot est inexact.
Il faudrait regarder ce que donne ma figure en permutant les côtés $65$ et $95$ mais pour le moment je suis pris d'une sainte flemme gériatrique.
Ma figure attendra un peu.
D'autre part je suis pris d'un doute sur le résultat même de Darboux.
J'ai l'impression que dans pas mal de cas à préciser, son lieu est formé d'arcs de cercles comme semble le suggérer mon logiciel à moins que je l'interprète mal!
Ce qui doit compliquer la construction du quadrilatère.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Quand on déforme le quadrilatère le diamètre du cercle inscrit
passe par un maximum $>30$.
La seconde solution s'obtient en déformant la tienne.
Surtout ne permute pas les côtés, le quadrilatère ne serait plus
"tangentiel".
@caliwhisky
Le site que tu cites (lol) est à consommer avec prudence.
Par exemple un 4-latère croisé n'a pas d'intérieur
et que signifie "les diagonales sont concourantes ??
Pour le numéro (1) je propose, en géométrie plane :
Définitions.
Un quadrilatère Q est déterminé par quatre points a, b, c, d tels qu'aucune droite n'en contient trois.
Les segments [ab], [bc], [cd] et [da] sont les côtés de Q,
[ac] et [bd] en sont les diagonales.
Les angles (dab), (abc), (bcd) et (cda) sont les angles de Q.
Si la droite bd coupe la diagonale [ac], [ac] est de type (1), sinon [ac] est de type (2).
Mêmes définitions pour [bd].
Un quadrilatère est dit convexe si ses deux diagonales sont de type (1).
Si ses deux diagonales sont de type (2) il est dit croisé.
Si les diagonales ne sont pas du même type il est dit... non convexe et non croisé.
Classement via les symétries.
Une s. axiale : trapèze isocèle (inscriptible) ou cerf-volant (non inscriptible)
Une s. centrale : parallélogramme
Deux s. axiales et une s. centrale : rectangle (inscriptible) ou losange (non inscriptible)
Groupe $D_4$ : carré
En se tenant à ce début on évitera les équœilles (Merci à ces Messieurs de l'Acccadémie).
Tu aurais dû faire une figure où apparaissent clairement les longueurs des côtés!
J'ai bien dû interpréter ce que tu voulais dire sans en être sûr!
Quant à la permutation des côtés, lis bien la remarque initiale de Darboux sur l'énoncé du théorème de Pitot: même le grand Steiner avait noté son inexactitude!
J'ai simplement fait la figure de Darboux et constaté que le cercle $\Gamma$ avait un rayon de $30$.
J'ai refait ma figure en permutant les côtés de longueurs $65$ et $95$ suivant les recommandations de Steiner et de Darboux.
J'ai ensuite tracé le cercle $\Gamma$ de Darboux et j'ai mesuré son rayon autour de $148$, ce qui fait que ta construction est alors possible.
Amicalement
[small]p[/small]appus