Conjecture

btsix
btsix
dans Géométrie
Bonjour,
J'aimerais avoir votre avis sur cette conjecture.

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthornormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère un ensemble fini de rectangles pleins (bords exclus) disjoints, dont les côtés sont parallèles à $\vec{i}$ ou $\vec{j}$, encerclant une région non vide.
On suppose qu'aucun de ces rectangles ne peut être étiré selon un de ses côtés de façon à recouvrir partiellement ou totalement la région et à ne pas chevaucher les autres rectangles.
Alors les composantes connexes de la région sont des rectangles (éventuellement dégénérés).

Merci.

Réponses

  • Cidrolin
    Cidrolin
    Avec "non vide" à la place de "vide" ?
  • btsix
    btsix
    Je pensais à "vide" au sens de "rien dedans", mais oui "non vide" est mathématiquement plus correct en effet.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Les rectangles comprennent-ils leur bords ? Si oui, un rectangle peut toujours être "agrandi" sans toucher l'autre, et la notion de "encerclant" est à préciser. Si non, on imagine facilement des rectangles encerclant l'intérieur d'un triangle.

    Cordialement.

    NB : Les mots approximatifs sont toujours dangereux en géométrie.
  • btsix
    btsix
    Corrigé
  • gerard0
    gerard0
    OK.

    Alors, pour un triangle ABC, des rectangles basés sur les côtés [AB], [BC] et [CA] encerclent bien le triangle, non ? Quelle différence avec un rectangle ?

    Cordialement.
  • btsix
    btsix
    J'avais modifié l'énoncé. Les rectangles doivent être non inclinés par rapport à un repère orthonormé.
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement, si tu modifies à chaque fois l'énoncé ... mais ça ne rend pas l'énoncé plus vrai.

    Et on ne sait toujours pas ce que signifie géométriquement "encercler", ni comment tu places tes 4 rectangles entourant un rectangle. Figure SVP.
  • btsix
    btsix
    J'avais prévenu que l'énoncé était corrigé. M'enfin bref


    Je modifie la conclusion : "la région est rectangulaire" => "les composantes connexes de la région sont rectangulaires"87260
  • gerard0
    gerard0
    Ici, la partie blanche au milieu, entourée par les rectangles roses, a une seule composante connexe, et ce n'est pas un rectangle.
    De plus, on peut déplacer des rectangles, par exemple OPKJ vers la droite.

    Finalement, tu veux dire que si tu entoures une région par des rectangles à côtés parallèles aux axes, la région à l'intérieur des rectangles est un polygone dont les côtés sont parallèles aux axes ? C'est évident, puisque ces côtés sont des côtés des rectangles.
  • btsix
    btsix
    "On suppose qu'aucun de ces rectangles ne peut être étiré selon un de ses côtés de façon à recouvrir partiellement ou totalement la région et à ne pas chevaucher les autres rectangles."

    Le rectangle OPKJ rend cette prémisse fausse puisqu'on peut l'étirer vers la droite.
    Je prétends que la zone blanche a ses composantes connexes rectangulaires seulement quand cette prémisse est vérifiée.

    Étirons les rectangles successivement tant qu'on peut :
    OPKJ vers la droite
    ASMN vers le haut
    GD1E1F vers la gauche
    EC1B1D vers la gauche

    Il n'y a plus de zone blanche. OK je rajoute dans la conclusion que les composantes connexes de la zone blanche peuvent être réduites à des rectangles dégénérés.
  • gerard0
    gerard0
    Quel dommage d'appeler "conjecture ce qui n'est qu'une recherche personnelle inaboutie.
    C'est à toi d'étudier sérieusement tes affirmations. Tout ce que j'ai fait a été de chercher à comprendre ce que tu disais, ce qui t'a amené à rectifier à chaque fois. Donc toutes tes conjectures successives étaient fausse, et il n'y a aucune raison pour que la dernière ne le soit pas.
    Mais moi, j'arrête de jouer.

    NB : Il ne sert à rien d’élaborer des conjectures si on n'essaie pas sérieusement de les prouver. Pour l'instant, tu brasses du vent.
  • btsix
    btsix
    L'énoncé ne vient pas de nulle part. C'est une constatation faite après une simulation informatique.
    Donc peut-être que la dernière version est encore fausse effectivement. Mais je pense que les tentatives de rectification successives ne sont pas vaines.

    Si je n'étais pas à court de temps, j'aurais davantage étudié la question avant de poster.
    J'aurais dû remplacer "conjecture" par "embryon de conjecture". Peut-être que cela aurait évité ta déception.

    Merci d'avoir daigné me répondre et désolé de t'avoir fait perdre ton temps. Je n'attends plus de réponses à ma question.
    Peut-être que je créerai à l'occasion un nouveau fil avec un énoncé formel, rigoureux et exempt d'erreurs reflétant de façon évidente un manque de travail.
  • P.
    P.
    Bah, souvent trouver l'enonce du theoreme est plus dur que de trouver sa demonstration.
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