Médiatrices d'un quadrilatère convexe

Piteux_gore · June 2019

Bonjour
Le résultat suivant est-il vrai et, si oui, comment le démontrer de façon simple (niveau bac ou moins).

Les intersections des médiatrices des côtés d'un quadrilatère convexe forment un quadrilatère semblable au premier.

A+

jelobreuil · June 2019

Bonsoir Piteux_gore,
Franchement, j'ai l'impression que ce n'est pas vrai, ou bien que ça ne l'est que dans des conditions particulières ...
Bien cordialement
JLB 87262

Piteux_gore · June 2019

RE

Peut-être pour les trapèzes et les parallélogrammes ?

A+

Piteux_gore · June 2019

RE

Sauf erreur de ma part, les médiatrices d'un losange délimitent un losange semblable ayant les mêmes diagonales.

Je vais me pencher sur les cas du parallélogramme quelconque et du trapèze.

A+

Piteux_gore · June 2019

RE
Si les médiatrices de AB, AD se coupent en P, les médiatrices de AB, BC se coupent en Q, les médiatrices de BC, CD se coupent en R et les médiatrices de CD, DA se coupent en S, alors un raisonnement élémentaire montre que $P$ et $A$ sont supplémentaires, etc.
Mortalité : Les angles de PQRS sont les supplémentaires des angles de ABCD.
A+

[Qui pourra y survivre ? :-D AD]

nicolas.patrois · June 2019

Et avec un rectangle ou un carré ?

Lake · June 2019

Bonjour,

AD a écrit:

[Qui pourra y survivre ? :-D AD]

Une des très rares occasions où AD ne corrige pas une faute de frappe/d'orthographe.
Cela mérite d'être souligné :-D

[(:D AD]

_{Et dire que je n'ai pas pensé à souligner! Ton style à la "Rue des petites perles" du célèbre volatile aurait du m'y inciter... (td)}

Piteux_gore · June 2019

RE

Concernant le parallélogramme, ses médiatrices délimitent un parallélogramme ayant les mêmes mesures d'angle.

Pour montrer que ces deux parallélogrammes sont semblables, je suis passé par la géométrie analytique pour montrer que les rapports des côtés sont les mêmes pour les deux parallélogrammes : c'est lourd !
Quelqu'un a-t-il une solution synthétique ?

A+

jelobreuil · June 2019

M'enfin, Piteux_gore !
Et les égalités d'angles, ça sert à quoi ?
Deux possibilités : la plus élégante d'abord, on se souvient du théorème qui dit que deux angles dont les côtés sont perpendiculaires deux à deux sont soit égaux, soit supplémentaires ... et le tour est joué !
La plus élémentaire ensuite, une simple, vraiment très simple, chasse aux angles : dans le quadrilatère AIHJ de ma figure, les angles en I et en J étant tous les deux droits, les angles en A et en H sont supplémentaires, or l'angle en A est supplémentaire de l''angle ADC du parallélogramme de départ, donc l'angle en H du quadrilatère AIHJ est égal à cet angle ADC, et comme l'angle EHG est égal, comme opposé par le sommet, à cet angle en H ... et de même pour les trois autres, ou par d'autres voies tout aussi simples !
Il n'est vraiment pas nécessaire, dans ce cas particulier, de se coltiner des calculs de rapports ...
Bien cordialement
JLB 87290

pappus · June 2019

Mon cher Jelobreuil
Deux parallélogrammes qui ont les mêmes angles n'ont aucune raison divine ou humaine d'être semblables!
Il va donc falloir se coltiner des calculs de rapports!
Amicalement
[small]p[/small]appus

jelobreuil · June 2019

Merci, Pappus, de m'avoir mouché comme je le mérite ! J'ai encore du chemin à faire ...
Une piste possible (mais pour plus tard, je vais aller me coucher maintenant ;-)) : considérer les médianes IL et JK, leur point d'intersection O, montrer que celui-ci n'est autre que le point d'intersection des diagonales de chacun des parallélogrammes, et appliquer Thalès ...
Bonne nuit, bien cordialement
JLB

Piteux_gore · June 2019

RE

Grosse différence entre triangles et quadrilatères :
- deux quadrilatères ayant leurs côtés deux à deux égaux ne sont pas forcément égaux ;
- deux quadrilatères ayant leurs angles deux à deux égaux ne sont pas forcément semblables.
S'il y a trois (donc quatre) angles égaux et deux côtés adjacents proportionnels, les quadrilatères sont semblables.

Deux parallélogrammes sont donc semblables s'ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels, cas d'égalité du triangle ; deux losanges sont semblables s'ils ont un angle égal.

A

pappus · June 2019

Bonjour
Il s'agit d'exhiber la similitude directe (centre, rapport, angle) envoyant le parallélogramme $ABCD$ sur le parallélogramme $abcd$.
Amicalement
[small]p[/small]appus 87306

Piteux_gore · June 2019

RE

Par la géométrie analytique j'ai trouvé que cette similitude admet :
- pour centre le centre de $ABCD$ (et de $abcd$)
- pour rapport (sauf erreur de ma part) $cotan(AB, AC)/2$
- pour angle $\pi/2$.

A+

pappus · June 2019

Mon cher Piteux_gore
C'est plus ou moins cela compte tenu du fait que tu ne nous as pas donné la notion d'angles que tu utilisais.
Je pense qu'il est assez facile de s'en tirer synthétiquement.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Piteux_gore · June 2019

RE

Premier point
Si l'on considère les deux droites menées du centre $G$ de $ABCD$ et parallèles respectivement aux deux paires de médiatrices, il est simple de prouver que les médiatrices parallèles sont équidistantes de l'une ou l'autre de ces deux droites ; donc $G$ est aussi le centre de $abcd$.

Je réfléchis à l'exhibition de la similitude…

A+

Piteux_gore · June 2019

RE

Comme les côtés du nouveau parallélogramme sont perpendiculaires aux côtés du premier parallélogramme, si mes souvenirs sont bons, il existe des similitudes d'angle droit envoyant chaque segment sur son homologue.
Il faut prouver que toutes ces similitudes sont une seule et même.

A suivre...

jelobreuil · June 2019

Bonsoir, Pappus, Piteux_gore et tous les autres,
Après avoir démontré hier (correctement j'espère, Pappus ?) les égalités entre les angles, je propose la démonstration suivante pour les rapports entre les côtés.
Soient donc ABCD le parallélogramme de départ, EFGH celui formé par les quatre médiatrices, L et N les pieds des médiatrices de BC et CD, K le point d'intersection de CD et de la médiatrice de AB, M celui de BC et de la médiatrice de DA, et I et J les projections orthogonales respectives de A sur les demi-droites CB et CD.
Il est facile de montrer que MN = BI, or on a aussi BI = AB sin(AI,AB) et MN = EF cos(MN,EF), et les angles (AI,AB) et (MN,EF) étant égaux, il vient EF/AB = tan(AI,AB). De même, les égalités DJ = KL, DJ = AD sin(AD,AJ), KL = GF cos(GF,KL) et (AD,AJ) = (GF,KL) mènent à GF/AD = tan(AD,AJ), et enfin, (AI,AB) = (AD,AJ) permet de conclure à l'égalité des rapports entre les côtés des deux parallélogrammes et donc à la similitude de ces derniers.
J'ose espérer que c'est correct ...
Bien cordialement
JLB 87310

Piteux_gore · June 2019

RE
Un petit résumé :
1) les deux parallélogrammes ont les mêmes angles, car les angles du quadrilatère formé par les médiatrices sont les supplémentaires des angles originels ;
2) les deux parallélogrammes ont le même centre, car les médiatrices sont deux à deux symétriques par rapport au centre du parallélogramme originel ;
3) les deux parallélogrammes ont leurs côtés proportionnels d'après Jelobreuil.

Moralité : les deux parallélogrammes sont semblables, et le second est l'image du premier par la similitude de centre le centre commun, d'angle droit et de rapport le rapport exhibé par Jelobreuil.

D'autres solutions ?
A+

pappus · June 2019

Bonsoir à tous
Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sécrètent quatre triangles dont les centres des cercles circonscrits sont les points $a$, $b$, $c$, $d$.
Comment continuer?
Amicalement
[small]p[/small]appus 87396

jelobreuil · June 2019

Bonsoir à tous,
Continuer, Pappus, je veux bien, mais dans quelle direction ? Pour aller où, vers quels horizons ?
"Au fond de l'inconnu, pour trouver du nouveau !" (Ch. Baudelaire)
Bien cordialement
JLB

pappus · June 2019

Bonsoir Jelobreuil
Ben pour déterminer simplement cette similitude directe!
Amicalement
[small]p[/small]appus

jelobreuil · June 2019

Bonne nuit

Pappus,
Centre O, angle 90° (ou 100 grades, si tu préfères), rapport Oa/OA ?
Amicalement
JLB

pappus · June 2019

Mon cher Jelobreuil
Oui mais cette similitude envoie-t-elle aussi $B$ sur $b$, $C$ sur $c$, $D$ sur $d$?
Amicalement
[small]p[/small]appus

jelobreuil · June 2019

Mon cher Pappus, bonjour,
Puisqu'il découle de tes hypothèses, qui impliquent que bd et ac sont respectivement médiatrices de AC et BD, que (OA, Oa) = (OB, Ob) = (OC, Oc) = (OD, Od) = - pi/2, la question est l'égalité des rapports Oa/OA et Ob/OB, les deux autres étant égaux chacun à l'un d'eux par symétrie centrale.
J'y réfléchis ...
A plus tard, bien cordialement
JLB

Piteux_gore · June 2019

RE

J'ai trouvé la solution suivante.

1) Le quadrilatère $A'B'C'D'$ homologue de $ABCD$ est un parallélogramme, car ses angles sont supplémentaires de ceux de $ABCD$ (résultat valable pour tout quadrilatère convexe).
2) $A'B'C'D'$ a même centre $G$ que $ABCD$ pour des raisons de symétrie.
3) Des considérations de médiatrices et de symétrie prouvent que $AA' = A'C = CC' = C'A$, donc que $AA'CC'$ est un losange, donc que $AC$ est perpendiculaire à $A'C'$.
4) Il s'ensuit que $G$ appartient au cercle $(AA')$ et au cercle $(CC')$ ; de même, $G$ appartient au cercle $(BB')$ et au cercle $(DD')$.
5) $G$ est donc le centre de la similitude directe d'angle droit (au signe près) et de rapport $A'B'/AB$ qui envoie $AB$ sur $A'B'$, ainsi que le centre de la similitude directe d'angle droit et de rapport $C'D'/CD = A'B'/AB$ qui envoie $CD$ sur $C'D'$.
6) Il existe donc une similitude directe de centre $G$ envoyant $ABCD$ sur $A'B'C'D'$.

A+

Médiatrices d'un quadrilatère convexe

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