Construction de la parabole ...
Bonjour à tous
Dans le plan affine, (donc sans structure euclidienne), on se donne un trapèze $ABCD$.
Construire la parabole circonscrite à ce trapèze.
Évidemment en ce siècle du tout numérique, il faut s'interroger sur le sens du mot construction!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Mon cher Poulbot
Laisse mes lecteurs réfléchir un peu.
Merci
Dans le plan affine, (donc sans structure euclidienne), on se donne un trapèze $ABCD$.
Construire la parabole circonscrite à ce trapèze.
Évidemment en ce siècle du tout numérique, il faut s'interroger sur le sens du mot construction!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Mon cher Poulbot
Laisse mes lecteurs réfléchir un peu.
Merci
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Réponses
Juste un exemple, l'idée, et tu me dira si c'est ok, c'est que la parabole que l'on cherche passe par un point à $\infty$ et pour déterminer ce point et bien j'ai pris la direction de la droite passant par les milieux des deux côtés parallèles du trapèze.
Exemple :
$$
A = (0,0) \qquad B = (2,0) \qquad C = (1,1) \qquad D = (2,1)
$$
La direction $\infty$ est $(1 : 2 : 0)$ et ensuite c'est de l'algèbre linéaire ...
$$
4 x^2 - 4 xy + y^2 - 8x + 7y = 0
$$
Note que construire pour moi c'est donner l'équation.
En fait je crois que le principal intérêt de cet exercice est justement d'avoir une bonne explication du mot construction.
J'espère qu'on en verra d'autres que la tienne.
Tout d'abord Bravo et merci d'avoir répondu aussi rapidement.
Mais j'ai quand même quelques petits reproches à te faire.
Par exemple, j'ai fait ta figure que voici ci-dessous.
Pourquoi ne nous as-tu pas envoyée la tienne et réponds moi franchement?
Quelques explications sur ma figure.
J'ai choisi un repère cartésien quelconque puis j'ai tracé ton trapèze et enfin avec les outils de mon logiciel, j'ai tracé la parabole en suivant ma construction que je ne dévoile pas pour le moment.
Arrivé à ce stade, mon logiciel aurait dû me fournir ton équation mais à la suite d'un bug informatique, je ne suis pas arrivé à l'obtenir.
Je sais que Poulbot a le même logiciel que moi et peut être qu'il pourrait nous faire la figure si son logiciel fonctionne correctement!
Enfin un autre reproche!
Tu n'as traité qu'un cas particulier!
Ce n'était pourtant pas sorcier de traiter le cas général!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Les trois droites rouges sont parallèles entre elles. Le point $Q$ est un point variable sur la droite rouge passant par $C$. On construit ensuite $R$ puis $M$. Alors le point $M$ décrit la parabole, d'après le théorème de Pascal.
Figure : elle est sur mon cahier de brouillon et je ne peux pas faire de photo et je n'aime pas du tout les mises a jours de Geogebra donc je ne l'utilise plus !
Pour le cas général, je vais essayer une stratégie.
1. Traiter le cas :
$$A = (0,0) \qquad B = (1,0) \qquad C = (1,1) \qquad D(z,1) $$
Avec $z$ un paramètre.
2. Utiliser le groupe affine pour faire les calculs génériques. Je dois réfléchir un peu mais à vue de nez, le cas $1$ doit suffire !
Pour construction : je ne sais pas du tout ce que tu appelles constructions, est-ce qu'on peut parler de paramétrage ?
Par curiosité, que reproches-tu aux mises à jour de Géogébra ?
Cordialement,
Rescassol
Un truc qui m'a énervé, mais je m'y prend mal certainement.
Je n'ai pas réussi à écrire une équation du genre $\frac{t^2-1}{t^2+1}$, quand j'écris l'accent circonflexe $\hat{}$ il me déplace le curseur sur le haut et donc je suis obligé de me déplacer avec la flèche droite pour redescendre. Ensuite, j'ai eu un mal fou à faire un copier coller d'une équation provenant d'un autre logiciel. Ça m'a tellement énervé de devoir faire ça que j'ai mis direct à la poubelle :-D C'est dommage car je me souviens avoir un peu utilisé ce logiciel et je le trouvais vraiment très bien !
Mais il y a certainement moyen de trouver une ancienne version ? Ou il y a peut-être une solution ?
Ta construction était très importante autrefois quand on ne disposait pas de logiciels de géométrie puisqu'elle donne la construction d'un point quelconque de la parabole.
Aujourd'hui c'est plus simple. Il suffit d'avoir un cinquième point par exemple par ta construction puis d'utiliser l'outil du logiciel: conique par cinq points pour obtenir la parabole circonscrite au trapèze sur son écran.
Pour obtenir ce cinquième point, j'ai utilisé une autre stratégie que le théorème de Pascal que j'ai toujours du mal à utiliser sous sa forme traditionnelle, je dois faire une allergie. (D'ailleurs mon cher JLT, je n'ai pas vraiment compris ta démonstration et je ne dois pas être le seul!.
Le théorème de Pascal dit que $M$ décrit une conique passant par $A$, $B$, $C$, $D$. Pourquoi serait-ce la parabole?).
Je construis l'intersection du diamètre $ST$ avec la parabole.
Pour cela on trace une conique $\Gamma$ quelconque passant par les points $A$, $B$, $C$, $D$.
Elle coupe la droite $ST$ en deux points $m$ et $m'$ qui sont en correspondance involutive d'après le théorème de Chasles.
Les points doubles de cette involution sont les points $S$ et $T$, pourquoi?.
On obtiendra une parabole quand l'un des deux points $m$ ou $m'$ sera à l'infini, l'autre étant donc situé au point central $E$ de l'involution c'est à dire au milieu de $ST$.
D'où ma construction:
On trace les intersections $S=AD\cap BC$ et $T=AC\cap BD$ puis le milieu $E$ de $ST$.
La parabole est la conique passant par les cinq points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$.
Mais de toutes façons, qu'on obtienne ce cinquième point à la sauce JLT ou à la mienne, tout ceci est devenu inconnu au bataillon depuis des années.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
@ModuloP
C'est un tort d'avoir abandonné l'utilisation de Geogebra pour des motifs aussi futiles.
On ne peut faire de la géométrie aujourd'hui sans utiliser de logiciel
C'est bon trouvé mon équation. Disons que j'ai uniquement fait lorsque les points
$$
A = (0,0) \qquad B = (1,0) \qquad C = (1+t,1) \qquad D = (1,1)
$$
$$
4x^2+ t^2 y^2 - 4t xy- t^2y-4 x = 0
$$
Petit dessin Géogebra : ici on peut faire bouger le curseur !
Je passe pour le cas général. C'est joli :-D
Soit $M$ un point de la parabole. Comme les six points $A,D,\infty,B,C,M$ sont sur une même conique, les points
$P=(AC)\cap (BD)$
$Q=(DM)\cap (C\infty)$
$R=(AM)\cap (B\infty)$
sont alignés.
Le fait que $Q\in (C\infty)$ signifie que $Q$ se trouve sur la parallèle à $\Delta$ passant par $C$, et le fait que $R\in (B\infty)$ signifie que $R$ se trouve sur la parallèle à $\Delta$ passant par $B$.
Comme disait pappus, ...
est-ce que les points $(S,T, m, m')$ sont en division harmonique ?
Est-ce que $E$ milieu de $ST$ vérifie $Em \times Em'=ET^2$ ?
...
Je vais essayer d'expliquer à ma façon la jolie construction de JLT valable d'ailleurs pour tout quadrilatère inscrit dans une parabole et pas nécessairement un trapèze.
On a sous les yeux une parabole $\Pi$ avec dessus quatre points $A$, $B$, $A'$, $B'$.
Je suppose que l'intersection des droites $AB'$ et $A'B$ existe et elle est notée $P$
Je note $L_A$ et $L_B$ les diamètres (parallèles) de la parabole passant par $A'$ et $B'$.
Vous avez sous les yeux la construction de $JLT$ du point courant de la parabole
On part d'un point $a\in L_A$ absolument quelconque.
Soit $b=Pa\cap L_B$.
Alors le point $M=Aa\cap Bb$ appartient à la parabole $\Pi$.
Appelons $\infty$ le point à l'infini commun aux droites $L_A$, $L_B$ et à la parabole $\Pi$.
La correspondance $A\iff a$ entre le complété projectif de $\Pi$ et celui de $L_A$ est une homographie fixant $\infty$.
Si maintenant on ote $\infty$ à ces deux complétés projectifs, on obtient une correspondance affine entre la parabole affine $\Pi$ et la droite affine $L_A$.
Du point de vue de la théorie des variétés, on obtient une carte affine $\Pi \longmapsto L_A; M\mapsto a$
On obtient ainsi un changement de cartes affine $L_A\longmapsto L_B; a \mapsto b$ entre les droites parallèles $L_A$ et $L_B$.
Mais nouveau drame abominable, que sait-on d'une correspondance affine entre droites parallèles?
Est-ce encore enseigné?
Et sait-on que cela entraîne que la droite $ab$ passe par le centre d'homothétie $P$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ceci dit, mon cher JLT, je veux bien admettre que cette configuration est une conséquence du théorème de Pascal mais alors il faut absolument exhiber l'hexagone que tu utilises avec l'ordre précis de ses sommets.
Nos messages se sont croisés. Je vois que tu as répondu à mes desiderata.
J'aurais dû donner l'hexagone dans l'ordre standard: $AC\infty BDM$.
Je ne vois pas très bien ce que tu appelles ordre standard d'un hexagone surtout quand un de ses sommets se trouve à l'infini.
Mais tu fais bien de le souligner, il y a un certain ordre à respecter pour énoncer le théorème de Pascal.
C'est mon côté un peu anar qui fait sans doute que je lui suis allergique!
Je préfère utiliser le théorème assurant l'existence d'un axe d'homographie pour toute homographie d'une conique.
Là je m'y retrouve. Plus besoin de rechercher un hexagone avec son bon ordre en sus!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pappus, si je comprends bien, quand on dispose seulement de quatre points quelconques par lesquels on veut faire passer une parabole, il faut se donner en plus la direction de l'axe de la parabole, autrement dit le cinquième point à l'infini dans une direction choisie ? Comme tu l'as fait avec LA et LB ?
Et que doit-on se donner, en plus de quatre points quelconques, pour construire une ellipse ou une hyperbole ?
Bien amicalement
JLB
Si on se donne quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan affine, il existe en général, deux paraboles passant par ces quatre points.
Grosso modo c'est une conséquence du théorème de Chasles appliqué à la droite de l'infini $\Delta$.
On regarde l'involution définie sur $\Delta$ par les coniques passant par ces quatre points.
Ses points doubles au nombre de deux fournissent les directions asymptotiques des deux paraboles.
La construction de JLT suppose connue d'une façon ou d'une autre ces directions asymptotiques.
C'est particulièrement simple dans le cas du trapèze $ABCD$ avec $AB\parallel CD$.
La droite $ST$ est un diamètre pour tout conique passant par $A$, $B$, $C$, $D$ et en particulier pour l'une des deux paraboles, celle que j'ai tracée en rouge.
L'autre parabole dégénérée passant par les points $A$, $B$, $C$, $D$ est alors formée par le couple des droites parallèles $(AB,CD)$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai certainement dû parler dans le passé de la construction des deux paraboles passant par quatre points dans des discussions à retrouver.
Voici une idée que j'ai déjà dû exposer.
Soit $A$, $B$, $C$, $D$ les quatre points en question.
On choisit par exemple les trois premiers $A$, $B$, $C$ et on considère la famille $\mathcal F$ des paraboles passant par ces trois points.
Comment se transforment par isotomie par rapport au triangle $ABC$ les paraboles de $\mathcal F$?
Et en déduire la construction demandée.
Tout cela pour dire encore une fois que la géométrie ne se limite pas à démontrer sempiternellement que trois points sont alignés ou que trois droites sont concourantes mais qu'elle est avant tout l'étude des groupes de transformations!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tout le mérite en revient à $\textbf{Michel Guillerault}$ qui la propose sur son site.
• On a $4$ points $A, B, C, D$ formant un quadrilatère convexe et $O$ l'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$.
• On construit $M$ sur $[OC)$ et $N$ sur $[OB)$ tels que:
\begin{equation}
\displaystyle OM^2=OA \times OC \: \: \text{et} \: \: ON^2= OD \times OB
\end{equation}
• On construit les parallélogrammes $OMNE$ et $OMNE'$ avec $E'$ symétrique de $E$ par rapport à $N$.
• $U = (BC) \cap (AD)$, $V=(AB) \cap (CD)$.
$(UV)$ coupe $(OE)$ en $K$ et $(OE')$ en $K'$.
Les milieux $I$ de $[OK]$ et $J$ de $[OK']$ sont les cinquièmes points des deux paraboles recherchées.
...
Avec la construction de Pappus postée plus haut le logiciel GeoGebra se comporte de façon anormale :
- si C se déplace sur la droite (d) parallèle à (AB) passant par D (question initiale de ce fil) la conique est tracée correctement.
- mais si on désolidarise C de cette droite (c'est à dire ABCD quadrilatère quelconque) alors la conique apparaît comme une ligne brisée lorsque C se rapproche de (d) (voir figure).
Pourquoi ?
(il y a le même problème avec la construction de JLT et celle postée par df)
Cette construction est connue depuis très longtemps.
Je crois qu'Isaac Newton y est pour quelque chose d'après mes souvenirs!
Amicalement
[small]p[/small]appus
> Pourquoi ?
> (il y a le même problème avec la construction de Jelobreuil et celle postée par df)
Parce que les dimensions que vous avez mis vous donne de quoi ultra petit.
C'est sans doute la commande conique par 5 points qui est défectueuse. Je parie qu'une construction à partir de foyer et directrice n'aurait pas ce problème.
J'ai signalé le bug à GGB.
Pour une construction euclidienne des $2$ paraboles passant par $A,B,C,D$, il me semble qu'il y a plus simple, tant au niveau de la construction que de la justification.
$D^{\ast }$ étant l'isogonal de $D$ par rapport à $ABC$, ce sont les isogonales des tangentes menées de $D^{\ast }$ au cercle $ABC$.
Justification : les paraboles passant par $A,B,C$ n'ayant qu'un point à l'infini, ce sont les isogonales des tangentes au cercle $ABC$.
Pour qu'il y ait $2$ solutions, il faut évidemment que $D^{\ast }$ soit extérieur au cercle $ABC$, c'est-à-dire que $D$ soit extérieur à l'ellipse de Steiner circonscrite à $ABC$ (les $2$ paraboles sont aussi les isotomiques des tangentes menées de $D$ à cette ellipse).
Bien cordialement. Poulbot
Un peu de nostalgie :
Si j'ai bien compris: toute parabole passant par les sommets d'un triangle $A, B, C$ et un quatrième point $D$ est nécessairement le conjugué isotomique d'une droite $d$ passant par $D$ et tangente à l'ellipse circonscrite au triangle $ABC$.
Si le conjugué isotomique de $D$ est à l'intérieur de l'ellipse de Steiner du triangle $ABC$, alors aucune parabole ne passe par ces quatre points.
Si la droite $d$ a deux points de contact avec l'ellipse de Steiner du triangle $ABC$, alors le conjugué isotomique de $d$ est une hyperbole.
...
on constate que les trois droites à l'intersection desquelles il est censé se trouver sont parallèles.
Ce qui signifie que $P'$ est un point de la droite de l'infini.
Quand $P$ parcourt le cercle, les droites prennent toutes les directions du plan du triangle et donc $P'$ parcourt la droite de l'infini. Tout le monde le sait...
Maintenant, si l'on suppose que $D$ est une droite du plan de $ABC$, le lieu des conjugués isogonaux de $P$ (par rapport à $ABC$) quand $P$ parcourt $D$ est une conique $\mathscr{C}$.
Si $D$ rencontre le cercle circonscrit en deux points, les images isogonales de ces deux points seront deux points de la droite de l'infini: ceux qui correspondent aux directions prises par les parallèles. $\mathscr{C}$ sera donc une hyperbole.
Si $D$ ne rencontre pas le cercle circonscrit, son image sera à distance finie: $\mathscr{C}$ est une ellipse.
Enfin si $D$ est tangente au cercle circonscrit, il y a une image à l'infini: c'est le cas de la parabole que l'on dit "tangente à la droite de l'infini".
Ce sont ces aspects projectifs qui m'avaient échappé dans le raisonnement de @poulbot utilisant l'isogonalité.
Je sais très bien que j'ai l'air de découvrir l'eau chaude (et bien sûr, c'est le cas).
...
Il est "bien connu" que les paraboles passant par $A,B,C$ sont les isogonales des tangentes au cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Voir mon fil en (presque) solitaire: Paraboles
Cordialement,
Rescassol
un peu plus haut, dans ta réponse à @JLT, tu poses une question: pourquoi $S$ et $T$ sont les points doubles de l'involution ?
J'ai essayé en vain de rédiger une réponse claire mais pour le bien de tes lecteurs et celui de la science, je crois qu'il vaut mieux que ce soit toi qui le fasse.
Quel théorème de Chasles permet d'affirmer que les intersections $m$ et $m'$ de $ST$ avec la conique $\Gamma$ sont en correspondance involutive et comment trouver son point fixe ?
Au passage: dire que $m$ et $m'$ sont en correspondance involutive sur $ST$ signifie que le produit de leurs distances à un point fixe de $ST$ est une constante. Est-ce bien cela ?
Cordialement.
...
Il faut avoir fait un minimum de géométrie algébrique pour comprendre la définition d'un point multiple d'une courbe algébrique.
En particulier l'ensemble de deux droites est une conique dite décomposée qui se trouve être une courbe algébrique et leur point d'intersection est un point double de cette conique décomposée.
Que dit maintenant le théorème de Chasles?
On considère l'ensemble des coniques passant par quatre points $A$, $B$, $C$, $D$.
Un tel ensemble est appelé faisceau linéaire de coniques à points de base $A$, $B$, $C$, $D$
Soit $\Delta$ une droite ne contenant aucun de ces points de base et soit $m\in \Delta$.
On considère la conique $\gamma$ passant par les cinq points $A$, $B$, $C$, $D$, $m$. Elle recoupe $\Delta$ en un point $m'$.
Il est à peu clair qu'on obtient ainsi une application $f:\Delta\longmapsto \Delta; m \mapsto m'$, involutive: i.e: $f^2=id$ et qui de plus conserve le birapport (de quatre points de $\Delta$).
C'est donc une transformation projective involutive de $\Delta$, muni de sa structure projective.
Une telle bestiole est appelée involution dans le jargon de la défunte géométrie projective.
Avant de continuer, essayer de démontrer ce théorème, ne serait-ce que par nostalgie!
Amicalement
PS
Ce que tu dis à propos des involutions d'une droite projective n'est pas inexact mais ce n'est pas leur définition dans la mesure où une droite projective n'a pas de structure euclidienne naturelle!
[small]p[/small]appus
Et donc quand $\gamma$ recoupe $\Delta$ au point $m'$ à l'infini, (avec $m$ milieu de $[ST]$), on est dans le cas où la conique du faisceau est une parabole.
On retiendra donc que les coniques passant par $4$ points fixes sont coupées par une droite fixe (ne contenant pas les points de base) en des points formant involution.
Merci encore pour ces explications.
...
PS2: Les contemporains de Michel Chasles se voyaient déjà accuser de délaisser la géométrie au profit de l'analyse.
Les historiens rappellent qu'au début du dix-neuvième siècle, l'Académie des Sciences était accusée d'être "tenue par les enragés du calcul intégral" !
Quand à Chasles, il est bien connu que ses publications en géométrie ne contenaient que très peu de calculs et presque aucune figure.
Je me demandais finalement si Chasles n'était pas le premier Bourbakiste !
...
Je ne sais pas si les bourbakistes détestent les formules mais en tout cas, ils vénèrent les structures!
En ce qui concernent les involutions, leurs définitions ont varié au cours de l'histoire.
Au départ un espace projectif n'était pas autre chose qu'un espace euclidien complété projectivement.
On n'hésitait pas alors à utiliser des distances pour définir des objets projectifs comme le birapport ou les homographies.
Puis les bourbakistes (?) sont passés par là en séparant bien les structures linéaire, affine, euclidienne, projective, circulaire, hyperbolique et que sais-je encore.
On sait maintenant définir les espaces projectifs sur des corps quelconques sans faire référence à quelque structure euclidienne que ce soit.
Aujourd'hui les involutions (d'une droite projective) ont une définition beaucoup plus abstraite mais ce qui est certain, c'est que dans un bon repère, elles ont une écriture de la forme: $xx'=k$ et tout dépend alors de savoir si $k$ est un carré dans le corps utilisé.
Les espaces projectifs actuels sur les corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ sont exactement ceux de nos anciens, du moins dans les petites dimensions, et il n'est pas inintéressant de lire ce qu'ils en disaient!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Essaye de démontrer le théorème de Chasles en choisissant un repère dans lequel la droite $\Delta$ a une équation simple par exemple: $y=0$
Pourrais-tu préciser s'il te plaît ? Je trouve qu'une "transformation projective d'une droite qui est sa propre inverse" est une définition très concrète ;-)
Cordialement, Bruno
L'article de Bouzar est justement fort intéressant sur la façon dont nos anciens construisaient une conique.
Une conique était un objet du plan euclidien et n'était construite ou connue que si l'on exhibait ses éléments de réduction euclidiens: foyers, directrices, excentricité, etc...
Aujourd'hui, (enfin il faudrait plutôt dire autrefois puisque chez nous la géométrie projective a disparu), (à l'étranger) il n'en est plus de même.
En géométrie projective, il n'y a plus de foyers ou de directrices et on peut considérer une conique comme connue dès qu'on sait exhiber cinq de ses points, (en géométrie affine idem avec la précision que certains de ces points peuvent être à l'infini) et les adorateurs de Pascal savent même construire à la règle seule (quel pied!) un point quelconque de la conique.
Si on relit l'article de Bouzar, le cinquième point de la parabole est justement obtenu par la construction que je suggérais.
De ce point de vue moderne, on peut considérer que la parabole est alors construite. et tout le reste de l'article devient inutile!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Elles sont liées par la relation: $F(x,y)=kG(x,y), \: k \in \mathbb{R}$ et toute conique passant par les quatre points $A, B, C, D$ coupe la droite $\Delta$ en des points vérifiant:
\begin{equation}
\displaystyle ax^2+2gx+c=k(a'x^2+2g'x+c');
\end{equation}
Donc les deux coniques rencontrent sur l'axe $x$ une paire de points mais comment montrer que ces points sont en involution ?
C'est ma cinquième et dernière réédition: je m'embrouille une fois de plus dans des calculs à rallonge.
...
That is the question!
Si tu arrives à mettre la main sur un Lebossé-Hémery d’Algèbre de la classe de Première des années quarante -cinquante, tu comprendras!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je me suis amusé à traiter un cas particulier de l'histoire de l'involution de Pappus ! J'ai pris les points
$$
A = (2, -2) \qquad B = (1, 0) \qquad C = (0, 0) \qquad D = (1, 3)
$$
J'ai ensuite pris la droite d'équation $d : y = 3x-7$. Soit $M = (x,y)$ un point de la droite $d$. Alors la conique passant par $ABCDM$ coupe la droite $d$ en $M$ et en $M'$ avec $x(M') = \frac{9x-16}{5x-9}$. On vérifie qu'il s'agit d'une homographie involutive :-D
Géogébra : ici Les équations font un peu peur !
D'ailleurs, je me demande si on ne peux pas récupérer l'involution de manière intelligente en considérant des points $M$ où la conique dégénère (hum je veux dire où la conique $ABCDm$ est un produit de droite i.e quand $ABm$ aligné etc ! Les calculs doivent se simplifier, non ? Je ne suis pas certain de m'exprimer correctement !
Je suis heureux de pouvoir dialoguer avec toi.
Tu te fais si rare!
Je faisais surtout allusion à la définition moderne des espaces projectifs et de leurs morphismes comme quotients.
Avoue que c'est bien abstrait et que ce n'est pas de cette façon que nos anciens voyaient les choses!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tu as du courage!
C'est justement pour éviter ce genre de calculs que Chasles a démontré son théorème!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Pour ne pas te faire languir, je te donne la méthode à suivre ultra élémentaire et c'est pourquoi on la trouve proposée dans divers exercices du Lebossé-Hémery dans le chapitre consacré aux relations entre coefficients et racines d'un polynôme du second degré.
Tu as écrit un polynôme du second degré dont les coefficients dépendent affinement du paramètre $k$.
Tu calcules la somme $x'+x''$ et le produit $x'x''$ de ses racines et tu élimines le paramètre $k$.
Elémentaire, mon cher Watson!
C'est sans doute la raison de la disparition des involutions!
Courageux, non pas vraiment j'ai juste programmé les choses mais je devais quand même faire un petit exemple histoire de comprendre , pour mon exemple je juste fait ça
Donc $F$ est une application qui à presque chaque point $M$ du plan projectif associe la conique passant par $ABCDM$ Maintenant, je peux prendre la famille linéaire de la forme $F([X,3X-7,1])$ et regarder l'intersection avec la droite d'équation $y=3x-7$ en affine $z=1$ :
Bien sûr le point on retrouve le point $M$ (à travers le facteur $-x+X$) et l'autre solution est solution en $x$ de :
$$
5xX - 9x - 9X + 16 = 0
$$
Ah mais là c'est facile, c'est une équation du premier degré :
$$
x = \frac{9X-16}{5X-9}
$$
Bon je sais, c'est pas une manière de faire de la géométrie, mais merci je me suis bien amusé :-D
Rassure toi, identifier une involution par son écriture, c'est faire de la géométrie.
C'est ce qu'a fait Chasles en prouvant son théorème.
Peux-tu nous achever sa démonstration que tu avais commencée?
Amicalement
[small]p[/small]appus
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Si je fais un polynôme au lieu d'une conique.(:P)