Point de Steiner
Bonjour
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle avec $G$ le centre de gravité, $F_1$ et $F_2$ les deux points de Fermat, $S_1$ et $S_2$ les deux points isodynamiques.
Montrer que l'axe radical des deux cercles $ \odot (GF_1F_2)$ et $ \odot (GS_1S_2)$ passe par le point de Steiner du triangle $ABC.$
Amicalement
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle avec $G$ le centre de gravité, $F_1$ et $F_2$ les deux points de Fermat, $S_1$ et $S_2$ les deux points isodynamiques.
Montrer que l'axe radical des deux cercles $ \odot (GF_1F_2)$ et $ \odot (GS_1S_2)$ passe par le point de Steiner du triangle $ABC.$
Amicalement
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Réponses
Je présume qu'il s'agit d'un problème très calculatoire qui devrait convenir parfaitement à Rescassol.
Les anglo-saxons donnant un nom à tout un tas d'objets géométriques associés à un triangle, je te signale que le cercle $GS_{1}S_{2}$ est le Cercle de Parry et que l'on peut remplacer ta question par une question tout aussi passionnante :
Montrer que le deuxième point commun aux cercles $GF_{1}F_{2}$ et $GS_{1}S_{2}$ est le Point de Parry ($X_{111}$ dans ETC) qui, si $S$ et $K$ sont les points de Steiner et de Lemoine, est à la fois le point où la droite $GS$ recoupe le cercle circonscrit (d'où ton résultat) et le conjugué isogonal du point à l'infini de la droite $GK$.
Je présume que tout ceci peut se faire avec des calculs à taille humaine en se plaçant dans un repère orthonormé dont les axes sont ceux des ellipses de Steiner à condition, hélas, de connaitre les coordonnées dans un tel repère des points cités ci-dessus qui sont toutes relativement simples.
Amicalement. Poulbot
Tu présumes bien. Par contre, toute solution autre que calculatoire est la bienvenue.
Merci pour tes précisions sur la terminologie pour les lecteurs du forum .
Amicalement
Avec Morley circonscrit, et en posant $r=\sqrt{3}$ et $j=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$, on a les points de Fermat $F_1$ et $F_2$, ainsi que les points isodynamiques $I_1$ et $I_2$ (je réserve $s_1,s_2,s_3$ aux fonctions symétriques de $a,b,c$) : Le cercle $GF_1F_2$ a pour centre et carré du rayon: Le cercle de Parry $GI_1I_2$ a pour centre et carré du rayon: Leur axe radical a pour équation $p z+q \overline{z}+r=0$ avec: Cet axe radical recoupe le cercle circonscrit au triangle $ABC$ au point de Steiner $X_{99}(x_{99})$ et au point de Parry $X_{111}(x_{111})$ avec $x_{99}=\dfrac{s_3(s_1^2 - 3s_2)}{s_2^2 - 3s_1s_3}$ et $x_{111}=\dfrac{6s_1^2s_3 - s_1s_2^2 - 9s_2s_3}{s_1^2s_2 + 9s_1s_3 - 6s_2^2}$.
Ci-joint une figure (pas terrible) et un fichier ggb.
Cordialement,
Rescassol
Merci pour ta contribution. Je posterai une autre solution prochainement.
Amicalement
Je précise que le rapport des rayons des cercles $GF_1F_2$ et $GI_1I_2$ est $\dfrac{OH}{3R}$ où $O$ et $R$ sont le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et $H$ son orthocentre.
Cordialement,
Rescassol
Et je rajoute que le cercle $GF_1F_2$, de centre $X_{8371}$, est tangent en $G$ à la droite d'Euler du triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
Edit: C'est le cercle de Hutson-Parry.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Parry and Hutson circles.pdf
Sincèrement
Jean-Louis
JLB