Pythagore au XIXe

Dans le disque de Poincaré, la distance de $0$ à $z$ est, d'après ce texte de François Labourie, \[d(0,z)=\ln\frac{1+|z|}{1-|z|}.\tag{2.4}\] On forme un triangle rectangle de sommets $0$, $\alpha=\frac{\mathrm{e}^1-1}{\mathrm{e}^1+1}$ et $\mathrm{i}\beta=\mathrm{i}\frac{\mathrm{e}^2-1}{\mathrm{e}^2+1}$, de sorte que $d(0,\alpha)=1$ et $d(0,\mathrm{i}\beta)=2$. Il s'agit de calculer la distance $d(\alpha,\mathrm{i}\beta)$. Pour cela, on ramène $\alpha$ en $0$ par une isométrie ; en principe, $f:z\mapsto\frac{z-\alpha}{1-\alpha z}$ devrait fonctionner ; puis on applique la formule. Il faudrait faire les calculs...