Symétrie par rapport à un point
Bonjour à tous
Comme je vois qu'on parle brusquement de géométrie hyperbolique, je m'intéresse dans le plan hyperbolique $\Pi$ à la symétrie $s$ par rapport à un point $A$. Soit $M'=s(M)$
Comme le plan hyperbolique est assez difficile à voir, surtout pour quelqu'un comme moi bien proche de la cécité, je me l'imagine comme la demi-sphère supérieure de Riemann, (eh oui on peut la couper en deux!), je tente de regarder ce qui se passe dans les deux modèles de Klein et de Poincaré à l'intérieur du cercle trigonométrique $\Gamma$: le seul cercle encore officiellement au programme!
Si $M$ est un point de $\Pi$, $M_p$ est son image dans le modèle de Poincaré et $M_k$ son image dans le modèle de Klein.
Tout ce que je demande est de refaire la figure ci-dessous si possible avec la règle et le compas mais je serais indulgent si on s'en passe!
Les données de départ sont les points $A_p$ et $M_p$ dans l'intérieur de $\Gamma$.
Quatre points à tracer, ce n'est pas la mer à boire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Comme je vois qu'on parle brusquement de géométrie hyperbolique, je m'intéresse dans le plan hyperbolique $\Pi$ à la symétrie $s$ par rapport à un point $A$. Soit $M'=s(M)$
Comme le plan hyperbolique est assez difficile à voir, surtout pour quelqu'un comme moi bien proche de la cécité, je me l'imagine comme la demi-sphère supérieure de Riemann, (eh oui on peut la couper en deux!), je tente de regarder ce qui se passe dans les deux modèles de Klein et de Poincaré à l'intérieur du cercle trigonométrique $\Gamma$: le seul cercle encore officiellement au programme!
Si $M$ est un point de $\Pi$, $M_p$ est son image dans le modèle de Poincaré et $M_k$ son image dans le modèle de Klein.
Tout ce que je demande est de refaire la figure ci-dessous si possible avec la règle et le compas mais je serais indulgent si on s'en passe!
Les données de départ sont les points $A_p$ et $M_p$ dans l'intérieur de $\Gamma$.
Quatre points à tracer, ce n'est pas la mer à boire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Réponses
-
Bonsoir pappus,
Je ne sais pas faire ton exercice mais il me semble que :
1) $\Pi$ est une involution qui possède deux points fixes $A$ et $B$ donc $[A,B,M,M']=-1$.
En particulier, si on sait construire $B$, on doit pouvoir construire $M'$.
2) Ta figure semble indiquer que dans le modèle de Klein, on voit les droites droites (!) donc $B$ se construit peut-être à l'aide de pôles ou polaires.
En tout cas, heureux de te revoir parmi nous :-) et si j'ai raconté n'importe quoi, j'en suis désolé ! -
Une figure du côté de chez Klein.
-
Merci Gai Requin
Même avec mes yeux incapables d'accommoder, ta jolie figure me semble exacte.
Le point $B_K$ est sans doute un point quelconque de la droite bleue qui le contient et tu suggères fortement que la polaire de $B_K$ par rapport au cercle horizon, (c'est quand même plus beau que le vulgaire cercle trigonométrique!), passe par $A_K$.
Donc d'après la divine réciprocité polaire, cette droite bleue (contenant $B_K$) est la polaire de $A_K$.
Quelle est alors la correspondance $M_K\iff M'_K$? C'est une transformation simple du plan laissant heureusement invariant l'intérieur du disque horizon. Oui mais laquelle? Tu l'as décrite mais tu ne lui as pas donné le nom qui lui revient!
Tu vois que tu n'as pas raconté n'importe quoi et c'est un grand honneur pour moi de continuer à dialoguer avec toi!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il te reste à faire la même chose avec le disque de Poincaré puis à construire l'isométrie $M_P\iff M_K$ entre le disque de Poincaré et celui de Klein! -
Bonjour pappus,
Soit $\Delta$ la polaire de $A_K$ par rapport à $\Gamma$.
Alors la correspondance $M_K\iff M'_K$ est l'homologie involutive d'axe $\Delta$ et de centre $A_K$.pappus a écrit:Il te reste à faire la même chose avec le disque de Poincaré puis à construire l'isométrie $M_P\iff M_K$ entre le disque de Poincaré et celui de Klein!
Comme tu l'as vu, j'ai fait la partie facile de ton exercice ! -
Mon cher Gai Requin
Exactement!
Je suis content de voir que tu connais bien la géométrie hyperbolique.
Tu notes que dans ce modèle de Klein, les points alignés apparaissent effectivement alignés et que les isométries apparaissent comme restrictions de défuntes transformations projectives.
Peux-tu maintenant me refaire exactement la même figure dans le modèle de Poincaré?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir pappus,
J'y vais doucement en ce dimanche, veille de Pentecôte.
Sue cette nouvelle figure, $PQ$ est un diamètre de $\Gamma$ passant par $M_P$ et $N_P$ tels que $[P,Q,M_P,N_P]=-1$.
Alors, dans le modèle de Poincaré, la droite $M_PA_P$ est l'arc de cercle rouge ! -
Mon cher Gai Requin
Non, les points de la géométrie hyperbolique vivent à l'intérieur du cercle horizon ou trigonométrique!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@pappus : J'ai modifié mon message précédent selon ta remarque.
-
Mon cher Gai Requin
Peux-tu nous préciser le lien qui unit les points $M_P$ et $N_P$ ainsi que les angles de la droite hyperbolique rouge avec le cercle horizon $\Gamma$.
Enfin peux-tu placer le symétrique $M'_P$ de $M_P$ par rapport au point $A_P$ et me dire de quelle transformation du plan cette symétrie $M_P\iff M'_P$ est la restriction?
Attention le point $N_P\ $ est de trop et par contre il en manque un autre de même nature sur ta figure!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
On se donne $M_P$ et $A_P$ dans $\Gamma$.
Soit $PQ$ le diamètre de $\Gamma$ passant par $M_P$ et $N_P$ le conjugué harmonique de $M_P$ par rapport à $(P,Q)$.
Alors le cercle $A_PM_PN_P$ est orthogonal à $\Gamma$. -
Merci Gai Requin
C'est vrai mais en fait on n'a pas vraiment besoin des points $P$ et $Q$ pour définir $N_P$ et surtout pour donner un nom (archiconnu autrefois mais aujourd'hui tombé dans l'oubli le plus absolu !) à cette correspondance.
Bon on ne va pas tourner autour du pot éternellement.
Dans le modèle de Klein les transformations hyperboliques sont des restrictions de transformations projectives et dans celui de Poincaré ce sont des restrictions de transformations circulaires.
La correspondance entre $M_P$ et $N_P$ est circulaire. Quelle est cette transformation que je noterai hardiment $i$ ?
Autrement dit $N_P=i(M_P)$.
Mais en fait ce n'est pas le point $M_P$ qu'il fallait transformer par $i$ mais un autre et il n'y en a pas $36$ sur ta figure !
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Effectivement, $i$ est l'inversion de pôle $O$ et de cercle $\Gamma$ !
-
Mon cher Gai Requin
OK, c'est bien une transformation circulaire mais ce n'est pas une transformation hyperbolique puisqu'elle échange l'intérieur et l'extérieur du cercle horizon.
Par contre, je veux que tu m'identifies la symétrie hyperbolique $M_P\iff M'_P$ par rapport au point $A_P$ sur ta figure dans laquelle tu peux effacer le point inutile $N_P$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
J'avais fait le plus dur !
-
Mon cher Gai Requin
Malheureusement ta figure est erronée!
Ce serait trop beau si le cercle hyperbolique de centre $A_P$ coïncidait avec un cercle euclidien lui aussi de centre $A_P$.
Avant tout réfléchis un peu!
La symétrie hyperbolique de centre $A_P$ doit être la restriction d'une transformation circulaire involutive fixant $A_P$ et laissant globalement invariant le cercle horizon. Il n'y en a pas des masses!
Ta figure devrait plutôt ressembler à ceci mais ceci ne nous dit pas exactement comment j'ai construit ce cercle hyperbolique qui est effectivement un cercle euclidien mais son centre n'est pas le point $A_P$ à une exception près!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Comment se lit la symétrie hyperbolique par rapport au point $A_P$: $M_P\iff M'_P$ dans le modèle de Poincaré?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher Math Coss
Tu critiques quelle figure, la mienne ou celle de Gai Requin?
L'idée que j'ai derrière la tête, c'est qu'on peut tracer la plupart des figures fondamentales de la géométrie hyperbolique sans avoir à se préoccuper des calculs de distance qui peuvent être assez pénibles!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus,
Math Coss a mis en lien ma figure pourrie.
Sur ta dernière figure, n'a-t-on pas $[A_P,i(A_P),M_P,M'_P]=-1$ ? -
Mon cher Gai Requin
C'est quand même pas mal.
Tu es d'abord tombé dans le panneau puis tu as bien rectifié.
Effectivement ce birapport vaut bien $-1$.
Autrement dit la symétrie hyperbolique de centre $A_P$ est la restriction à l'intérieur du cercle horizon de la transposition circulaire de points fixes $A_P$ et $i(A_P)$, transformation circulaire (directe) hautement involutive fixant $A_P$ et laissant globalement invariant le cercle horizon, tu en vois d'autres de directes?
C'est quand même simple du moins pour ceux qui connaissent la défunte géométrie circulaire!
C'est en faisant ce genre de remarques que je me suis créé tout un éventail de macros me permettant de simuler la géométrie hyperbolique (surtout dans le modèle de Poincaré) avec mon logiciel.
Maintenant un petit exercice de style pour répondre aux angoisses de Math Coss:
Quels sont les cercles hyperboliques de centre $A_P$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Disons que j'ai lu le message de Math Coss en diagonale et que mes yeux cataractérisés ont du mal à distinguer les liens proposés! -
Voilà un problème que je n'ai jamais rencontré !
Soit $A,B,C$ trois points d'un cercle $\Gamma$.
Comment construire le point $D\in\Gamma$ conjugué harmonique de $C$ par rapport à $(A,B)$ ? -
Bon évidemment, on peut utiliser la définition du birapport de quatre points coconiques et se ramener à la construction du conjugué harmonique sur une droite mais il y a peut-être un procédé plus élégant ?
-
Mon cher Gai Requin
Voilà déjà un problème fondamental de la géométrie circulaire!
Tu n'as pas besoin de supposer qu'ils sont sur un cercle. Ils savent le faire tout seul comme des grands!
Tu connais l'importance dans un groupe d'avoir à sa disposition un système de générateurs.
Le groupe circulaire ne fait pas exception.
L'un des premiers théorèmes de cette géométrie est justement d'exhiber un tel système et il se trouve que les éléments de ce système font partie des outils du logiciel de géométrie dynamique que tu utilises, (du moins pour les bons).
Il te suffit alors de décomposer ta transposition circulaire en produit de ces générateurs et tu as ta macro!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour Gai Requin
Mais la solution que je préfère, c'est pas celle de $14-18$ mais celle de la Divine Conjugaison.
Appelons $\sigma$ la transposition circulaire de points fixes $A$ et $B$ et on cherche une construction de $C'=\sigma(C)$ en sorte que $(A,B,C,C')=-1$.
Soit $\tau$ l'inversion de pôle $A$ fixant $B$: calculer le conjugué $\tau.\sigma.\tau^{-1}$ et en déduire la construction demandée!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci pappus,
Je regarderai plus tard.
En attendant, voilà une construction relativement simple. -
Merci Gai Requin
C'était autrefois une construction fort connue du quadrangle harmonique.dans laquelle le cercle horizon ne joue aucun rôle.
Je détaille ta construction.
On trace d'abord le cercle $M_PA_Pi(A_P)$ puis le pôle $T$ de la droite $A_Pi(A_P)$ par rapport à ce cercle.
Le point $M'_P$ est le second point d'intersection de la droite $TM_P\ $ avec le cercle circonscrit au triangle $M_PA_Pi(A_P)$.
C'est une construction un peu bâtarde qui combine les propriétés projectives et circulaires de la figure.
Elle tombe en défaut quand les points $M_PA_Pi(A_P)$ sont alignés.
Une macro qui marche dans tous les cas de figure est appelée solide.
On cherche une macro solide (strong en anglais?).
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Cette construction doit se faire dans un contexte circulaire et non hyperbolique!! -
@pappus : Cette conjugaison est effectivement divine !
Soit $I$ le milieu de $AB$ de sorte que $\tau(I)$ est le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $B$.
Remarque :$\tau.\sigma.\tau^{-1}=\tau.\sigma.\tau$.
On a :
1) $\tau.\sigma.\tau(B)=B$.
2) $\tau.\sigma.\tau(A)=\tau.\sigma(\infty)=\tau(I)=A'$.
3) $\tau.\sigma.\tau(\infty)=\tau.\sigma(A)=\tau(A)=\infty$.
Donc $\tau.\sigma.\tau$ est la symétrie $s$ de centre $B$ !
En particulier, $C'=\sigma(C)=\tau.s.\tau(C)$. -
Bravo Gai Requin
Cette macro est solide, utilise deux fois la même inversion et une symétrie centrale.
L'autre construction à laquelle j'ai pensé en premier est basée sur le fait qu'une transposition circulaire de points fixes $P$ et $Q$ est le produit commutatif de deux inversions par rapport à deux cercles orthogonaux passant par $P$ et $Q$.
Cette macro est elle aussi solide et n'utilise que deux inversions.
Bon ce n'est pas tout, il faut maintenant faire le lien entre ce qui se passe dans le disque de Poincaré et celui de Klein c'est à dire exhiber en grand détail la correspondance $M_P \iff M_K$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'aime bien ta remarque à l'adresse de ceux qui ne savent pas qu'une inversion est involutive. D'ailleurs la grande majorité ne savent même pas ce qu'est une inversion!
J'ai oublié aussi cette question de tracer les cercles hyperboliques, elle aussi en suspens! -
@nos chères lectrices :
Sur cette figure, $C'$ est l'image de $C$ par l'inversion de cercle le cercle rouge.
Pourquoi cette figure permet-elle de justifier le fait qu'une inversion n'est pas une homographie du plan circulaire ? -
Mon cher Gai Requin
Faut il vraiment que je change de sexe pour te répondre? Il serait grand temps!
Je ne sais pas trop ce que tu attends.Peut être cela?:
Si c'était une homographie, elle serait de points fixes $A$ et $B$ donc ce serait une transposition circulaire de points fixes $A$ et $B$ car elle est involutive et les points $A$, $B$, $C$, $C'$ seraient cocycliques, ce qui n'est pas le cas?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Non, tu n'as pas besoin de changer de sexe.
Je me disais juste qu'une petite question graphique sur le plan circulaire aurait pu intéresser la gente féminine. ;-)
Plus sérieusement, je jetterai un coup d'œil sur les cercles hyperboliques dans la soirée. -
Bonsoir Gai Requin
Laissons donc ta configuration à l'intuition féminine!
Plus sérieusement une inversion a soit une infinité de points fixes soit aucun alors qu'une homographie en a toujours deux distincts ou confondus!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus,
J'ai cherché à tracer le cercle hyperbolique de diamètre $M_PM'_P$.
Pour cela, il suffit de trouver $N_P\neq M_P$ tel que $M_P,M'_P,N_P,N'_P$ soient cocycliques.
Je n'ai pas encore réfléchi à une construction d'un tel $N_P$.
La figure suivante est donc très approximative mais elle permet de fixer les idées. -
Bonjour Gai Requin
On finira bien par créer une macro construisant ces cercles!
Ce qu'il y a de certain, c'est que le groupe hyperbolique opère transitivement sur les cercles hyperboliques.
Or il existe un point $M$ du disque de Poincaré tel que les cercles hyperboliques de centre $M$ coïncident avec les cercles euclidiens de centre $M$.
Quel est ce point $M$?
Peux tu alors me tracer les cercles hyperboliques de centre $M$ et les droites hyperboliques passant par $M$.
Maintenant compte tenu de cette loi d'opération transitive, peux-tu me faire la même chose quand le point $M$ est quelconque.
Intuitivement le plan hyperbolique est un espace homogène et tous les points se valent!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Sur cette figure, j'ai placé $A_p$ au centre de $\Gamma$.
-
Merci Gai Requin
Bravo!
Maintenant tu me transformes ce fourbi par une isométrie hyperbolique!
Et ne fais pas sursauter Henri sur son petit nuage!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Tu aurais pu tracer quelques cercles bleus et quelques droites rouges de plus pour enjoliver ta figure et pour que le raisonnement que tu dois tenir ait plus de chance de convaincre les incrédules. -
Bonsoir pappus,
Je crains qu'Henri ne sursaute !
Sur cette nouvelle figure, $I$ est le milieu de $OA_P$ et celui de $M_PM''_P$.
Le cercle de rayon $OM''_P$ coupe $OI$ en $S$ et $S'$ est le symétrique de $S$ par rapport à $I$.
J'espère alors que le cercle de diamètre $M_PM'_P$ passe par $S'$... -
J'ai un petit souci pappus.
Je ne sais pas tracer le milieu de $I$ de $A_PO$ ! -
Mon cher Gai Requin
Ce n'est pas le raisonnement transitif que j'attendais!
Je critiquerais ta figure en temps voulu.
Voici ma propre figure.
En traits pleins apparaissent les droites hyperboliques rouges issues de $O$ et les cercles hyperboliques bleus de centre hyperbolique $O$, figure que tu m'as dessinée.
Puis j'ai transformé cette figure par une transformation hyperbolique envoyant $O$ sur $M$.
On obtient ainsi des cercles hyperboliques en bleu pointillé de centre hyperbolique $M$ et des droites hyperboliques en rouge pointillé passant par $M$.
Peux-tu m'expliquer la signification euclidienne de la figure pointillée?
Amicalement
[small]pappus[/small] -
Sans pointillés : un faisceau à points limites $0$ et $\infty$ en rouge et le faisceau orthogonal à points bases (points de base ?) en bleu.
En pointillés : l'image des précédents par une homographie qui ressemble à $z\mapsto $i(M)\dfrac{z-M}{z-i(M)}$ ou à sa réciproque (une chance sur deux ?). -
Merci pappus.
En attendant d'analyser ta figure, j'ai modifié [celle-ci] afin que les milieux en soient vraiment ! -
Mon cher Gai Requin
Je ne sais pas si Henri a sursauté mais moi je n'ai rien compris à ta construction (?) de quoi exactement? du cercle hyperbolique de centre hyperbolique $A_P$ passant par $M_P$?
Ce serait le cercle euclidien de centre $I$ passant par $M_P$?
$I$ serait le milieu euclidien ou hyperbolique de $O_P$?
Bref tout ceci est un peu confus!
Je te signale que l'ami Math Coss est en train de te griller. Laisse tomber ta construction pourrie (?) et dépêche toi de finir son raisonnement
Il a bien commencé mais n'a pas terminé et s'est perdu dans une homographie dont la détermination importe peu.
En fait pour transformer la figure, j'ai tout simplement utilisé une symétrie hyperbolique par rapport à une droite hyperbolique que j'ai effacée mais qu'on peut reconstituer facilement.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je devine que si tu as un souci avec $I$, c'est que tu l'as défini comme milieu hyperbolique des points $O$ et $A_P\ ?$
Tu soulèves un problème abominable, comment tracer le milieu hyperbolique de deux points?
Je vais encore faire des cauchemars -
Bonne nuit cher pappus !
Mon objectif était de tracer le cercle hyperbolique $\cal C$ de centre $A_P$ passant par $M_P$.
Il passe aussi par $M'_P$ le symétrique de $M_P$ par rapport à $A_P$.
Soit $I$ le milieu hyperbolique de $OA_P$, $\tau$ la symétrie de centre $I$ et $M''_P=\tau(M_P)$.
Alors $\tau(\cal C)$ est le cercle $\cal E$ de centre $O$ passant par $M''_P$ qui est facile à tracer !
De plus, il existe un point $S$ de $\cal E$ tel que $S'=\tau(S)$ ne soit ni $M_P$, ni $M'_P$.
Bilan : $\cal C$ est le cercle passant par $M_P,M'_P,S'$ qui est facile à tracer !
Remarque : Soit $i$ l'inversion de cercle $\Gamma$, $I'=i(I)$ et $A'_P=i(A_P)$.
Pour construire $I$, il suffit de remarquer que $A'_P$ est le milieu affine de $II'$ à grands coups de polarité...
P.S. : Il y a bien de la transitivité dans mon propos.
P.P.S : Math Coss n'aurait aucun mal à me griller à longueur de journée donc y'a pas de lézard. :-) -
Mon cher Gai Requin
Tu as effectivement utilisé la transitivité puisque tu as transformé la figure par la symétrie hyperbolique centrale échangeant $O$ et $A_P$ mais la construction de son centre $I$ paraîtra un peu ésotérique à ceux de tes lecteurs qui débutent en géométrie hyperbolique. Elle mérite donc une petite explication!
Ta construction est correcte mais elle ne rend pas compte de la signification euclidienne de ce cercle, ce qu’a tenté de faire Math Coss.
Peux-tu achever son raisonnement?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous
L'idée de Math Coss est la suivante:
Si on transforme par une transformation circulaire $f$ un faisceau de cercles à points limites $p$ et $q$ et son faisceau orthogonal à points de base $p$ et $q$, on obtient le faisceau de cercles à points limites $f(p)$ et $f(q)$ et son faisceau orthogonal à points de base $f(p)$ et $f(q)$, simple n'est-il pas?
Application à la situation hyperbolique envisagée!
Comment caractériser le cercle hyperbolique de centre $M$ passant par $N$?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir pappus,
Voilà comment j'ai construit le point $I$ et tu vas peut-être hurler. :-S
Avec les notations de [ce message], on a $[I,I',A_P,O]=-1$.
Or, la restriction de l'inversion $i$ à la droite $OA_P$ est une homographie donc $[I,I',A_P,O]=[I',I,A'_P,\infty]=-1$ donc $A'_P$ est le milieu de $II'$.
On en déduit facilement que $\overline{OI}$ est solution de l'équation $x^2-2.\overline{OA'_P}.x+1=0$.
En particulier, $I$ est constructible à la règle et au compas. -
Mon cher Gai Requin
La méthode de Math Coss ne t’inspire pas et pourtant elle mène à une construction beaucoup plus naturelle.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Transposition circulaire $O\mapsto M$, $\infty\mapsto i(M)$ ?
-
Mon cher Gai Requin
C’est faux pour une transposition circulaire générale mais ici on a affaire à une transposition circulaire hyperbolique, so what?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
On doit pouvoir se sortir d'affaire avec l'inversion de pôle $i(M)$ qui échange $O$ et $M$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 771 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 6
+5 Invités