Angle deux droites vectorielles dans $\C^2$

Merci Soland. C'est justement le problème, avec cette topologie, on trouve que l'angle entre les deux droites isotropes est droit...ce qui contredit la topologie qu'on utilise d'habitude où les isotropes sont orthogonales à elles-mêmes mais pas entre elles . La question que je me pose est quel espace P(K3) et quelle topologie employer pour pourvoir employer les isotropes, la notion de foyer, disposer d'une droite de l'infini et étudier... les coniques et autres à coefficients réels.
Visiblement on ne peut pas conserver la notion d'angle, bien que la topologie avec le produit hermitien, quand on l'utilise sur P(R3), partie de P(C3), donne la même chose qu'avec le produit scalaire euclidien...

Oui, je sais , je suis perdu. Et le livre de Tisseron ne m'a finalement pas aidé....

Merci encore Pappus.

Je suis parti sur l'idée que le meilleur espace pour étudier les coniques (à coefficients réels ) était P(C3, que j'ai donc voulu étudier, d'où le livre de C. Tisseron.

La métrique naturelle pour C3 est d'utiliser le produit scalaire hermitien, d'où mon intérêt pour cette partie du livre de C. Tisseron. Mais dans un tel espace, les vecteurs (1,i,0) et (1,-i,0) sont orthogonaux entre eux et le carré scalaire de l'un ou l'autre est 2. Ce qui n'est évidemment pas ce qu'on a l'habitude de dire..

Donc ce n'est pas P(C3) l'espace employé classiquement.

C'est dommage car P(R3) est un sous-ensemble de P(C3) où l'on trouve les résultats habituels même avec le produit scalaire hermitien, puisque un réel est égal à son conjugué. Mais au lieu de plonger les réels dans les complexes, il va falloir plonger les complexes dans les réels en quelque sorte.

Je comprends donc que le cadre habituel d'étude des coniques (et autres), avec les propriétés des polaires, des foyers, part d'un espace vectoriel E , R complexifié, où le produit scalaire est la "formule" euclidienne (sans les conjugués) et i un nombre ordinaire dont le carré vaut -1.

Pour les propriétés projectives, on utilise donc P(E3), pour les propriétés affines, un plan E2 complété d'une droite de l'infini et pour les propriétés métriques un plan E2 muni du produit scalaire euclidien où i est un nombre dont le carré vaut -1. Là on a bien les propriétés habituelles des isotropes, les foyers, etc...

Mais la métrique de ces espaces n'est pas "complète" puisqu'il n'y a pas de distance entre éléments imaginaires, ni d'angle entre deux droites complexes.

Il me semble donc qu'en les utilisant, il faille toujours préciser, en parlant de points ou de droites, si ils sont réels ou imaginaires.

Dans ces espaces construits à partir de E, une droite complexe n'a pas de direction (alors qu'elle en a une dans un espace hermitien), bien que l'on se permette de parler d'une droite de" pente i". C'est de là que sont venues mes interrogations, la" pente" de l'isotrope de l'origine dans un espace euclidien "prolongé" sur R complexifié n'est pas le vecteur directeur d'une droite complexe de l'espace hermitien !

J'enfonce des portes ouvertes, mais je suis persuadé que beaucoup de taupins qui ont navigué dans les coniques n'avaient pas à l'esprit les précautions qu'il fallait prendre et un grand nombre de théorèmes pêchent par manque de précision sur le caractère réel ou imaginaire des éléments en cause,.Quand on parle coniques homofocales, on pense uniquement aux foyers réels, en tout cas, si on on faut un sondage, c'est ce que 85% des taupins penseraient.

Voilà, je crois que je commence à comprendre sur quel océan je suis.J'ai pris inutilement l boussole hermitienne, je vais la laisser tomber. Mais je vais essayer d'être très scrupuleux en réétudiant les propriétés des coniques (à coefficients réels), en me posant toujours des questions sur le caractère réel des éléments.

J'espère que vous aurez le courage de me lire jusqu'au bout et me confirmer que la voie est la bonne: partir de R complexifié avec le produit scalaire euclidien, i2=-1 et donc un espace métrique "incomplet".