Une ellipse, encore une !

On doit pouvoir modifier la métrique du plan de sorte que deux des bissectrices deviennent des hauteurs pour la nouvelle métrique, et l'ellipse n'est rien d'autre que le cercle d'Euler pour cette métrique.

Bonjour
Cela marche avec n’importe quelles céviennes!
C’est la conique des 9 points!
On en a souvent parlé ici même.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Cette conique a disparu à tout jamais de notre culture!
On l’appelle conique car elle n’a aucune raison divine ou humaine d’être une ellipse!
Et même s'il lui arrive d'être un cercle, on ne sait même plus quand !
Quand cette conique est-elle une ellipse, un cercle, une hyperbole, une hyperbole équilatère, une parabole?
Voilà la véritable question à laquelle j'ai déjà dû répondre dans le passé.
Ci-dessous des figures archi-connues sans commentaires!

Je n'ai pas le temps de réfléchir à ma question, mais si je ne me suis pas trompé ce n'est pas toujours vrai, par contre ça l'est si parmi $A,B,C,P$, l'un des points est intérieur au triangle formé par les trois autres.

Mon cher Jelobreuil
Les familles de coniques du plan dépendant d’un point, tu as autant de façons d’en définir qu’il y a de galaxies dans l’univers!
Contentons nous d’étudier celle là ne serait-ce qu’en formant l’équation d’un de ses membres en fonction des coordonnées du point $P$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il ne m’étonnerait guère que cela fût fait dans le JDE!

Bonjour
Je vais essayer de répondre aux angoisses métaphysiques de $JLT$ sur l'orthocentre
On est dans un plan affine réel avec dedans un triangle $ABC$ et un point $P$ qui nous servira de paramètre.
On cherche à savoir s'il existe au moins une métrique euclidienne telle que $P$ soit l'orthocentre du triangle $ABC$.
Je vais pour le moment me contenter de mettre ce problème en place.
On va travailler dans le repère cartésien $\{A;(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\}$, difficile de faire autrement
La métrique sera donnée par son écriture dans ce repère:
Si $\overrightarrow V=x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AC}$, on a:
$$\langle \overrightarrow V\vert \overrightarrow V\rangle =ax^2+2bxy+cy^2$$
avec $a=\langle \overrightarrow{AB}\vert \overrightarrow{AB}\rangle >0$, $c=\langle \overrightarrow{AC}\vert \overrightarrow{AC}\rangle >0$ et $b=\langle \overrightarrow{AB}\vert \overrightarrow{AC}\rangle $
L'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit l'inégalité $b^2<ac$ puisque les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont linéairement indépendants
Réciproquement toute forme quadratique $ax^2+2bxy+cy^2$ vérifiant les inégalités $a>0$, $b>0$ et $b^2<ac$ sera l'écriture d'une métrique euclidienne du plan affine dans le repère $\{A;(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\}$.
On est donc face au problème abominable suivant: écrire que si: $\overrightarrow{AP}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$, on a:
$$\langle \overrightarrow{BP}\vert \overrightarrow{AC}\rangle=\langle \overrightarrow{CP}\vert \overrightarrow{AB}\rangle=0$$
Bon courage!
Amicalement
[small]p[/small]appus