Quelques problèmes circonvoisins
J'ai reçu le dernier "Pour la science".
Notations conventionnelles.
(1) Calculer $(a:b:c)$ connaissant $\cos \alpha = 11/21$ et $\cos \beta = 19/21$ .
(2) Si les proportions $(a:b:c)$ s'expriment en nombres entiers, c'est aussi le cas de $(\cos \alpha:\cos \beta:\cos \gamma)$ .
(3) Prouver ou réfuter la réciproque de (2) .
(4) Quels sont les polynômes (symétriques) qui s'annulent sur tous les triolets $\{ \sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma \}$ ?
(5a) Inscrire un triangle équilatéral de côté entier à celui de côté 11 .
(5b) Idem, mais circonscrire.
Notations conventionnelles.
(1) Calculer $(a:b:c)$ connaissant $\cos \alpha = 11/21$ et $\cos \beta = 19/21$ .
(2) Si les proportions $(a:b:c)$ s'expriment en nombres entiers, c'est aussi le cas de $(\cos \alpha:\cos \beta:\cos \gamma)$ .
(3) Prouver ou réfuter la réciproque de (2) .
(4) Quels sont les polynômes (symétriques) qui s'annulent sur tous les triolets $\{ \sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma \}$ ?
(5a) Inscrire un triangle équilatéral de côté entier à celui de côté 11 .
(5b) Idem, mais circonscrire.
Réponses
-
(5a) La plus simple à construire : prendre AD = BE = FC = 3.
Bon après-midi. -
Autre solution pour (5a) :
$AD = BE = FC= \dfrac{11-3\sqrt{5}}{2}$. -
> AD = BE = FC = 3
Un peu court. $FE=?$ . Bon soir. -
En prenant AD = BE = FC = 3 la loi des cosinus permet de montrer que DEF est équilatéral de côté 7.
En prenant
$AD = BE = FC= \dfrac{11-3\sqrt{5}}{2}$
on obtient DEF équilatéral de côté 8.
Mais je n'ai aucune preuve de ce résultat, que j'ai obtenu de la façon suivante :
- avec GeoGebra : construction de ABC équilatéral de côté 11, du point D variable sur AB puis de E et F pour que DEF soit équilatéral et inscrit dans ABC.
- le point D est muni d'une vitesse égale à DE - 8 : cela permet en animant ce point d'avoir une très bonne précision de la distance AD qu'il faut pour que DE = 8, le point D filant vers l'unique solution.
- GeoGebra indique alors AD = 2,145890377.., et l'inverseur de Simon Plouffe a fait le reste :
INVERSE SYMBOLIC CALCULATOR -
Pour le problème 5a) et avec les notations de la figure postée plus haut : on pose $AD = x$ et on utilise la loi des cosinus pour trouver $DF^{2}=3x^{2}-33x+121$.
On est donc amené à résoudre des équations du second degré.
Enfin j'y arrive ! :-) -
Bonsoir
On ne peut pas dire que certains de ces énoncés soient d'une clarté absolue!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@Ludwig van : (tu)
Je suis ravi de retrouver le lien vers Plouffe, merci !
@pappus
Nous sommes d'accord, je crois, sur la définition
$$
(x:y:z) :=\{ (\lambda x, \lambda y, \lambda z) \;\text{où}\; \lambda\in\mathbb{R}^* \}
$$
Pour le (1)
La donnée permet de calculer les angles du triangle. Ensuite le th. du sinus
$$
(a:b:c) = (\sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma)
$$
donne les côtés. Evidemment la première partie du calcul doit être conduite
de façon à ne pas sombrer dans les approximations.
Pour le (2)
Traduction : Si les côtés du triangle sont rationnels, les cosinus des angles le sont aussi.
Pour le (3)
La vraie question.
Pour le (4) J'ai rectifié l'énoncé.
Un triple $(x,y,z)$ appartient à $\mathbb{R}^3$
Un triplet $(x:y:z)$ appartient à $\mathbb{R}^3/\mathbb{R}^*$
Un triolet $\{ x : y : z \}$ appartient à $\mathbb{R}^3/\mathbb{R}^*/\mathfrak{S}_3$
La fonction polynomiale qui apparaît dans
$$
\text{Polynôme en les sinus} = 0
$$
est évidemment constante sur les diverses classes ci-dessus.
Le (1) : -
Bonjour
Quelques brèves remarques.
$\left( 1\right) $ est très élémentaire. $\sin \alpha =\dfrac{8\sqrt{5}}{21},\sin \beta =\dfrac{4\sqrt{5}}{21},\sin \gamma =\sin \left( \alpha +\beta \right) =\dfrac{4\sqrt{5}}{9}$ d'où $\left( a:b:c\right) =\left( \sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma \right) =\left( 6:3:7\right) $.
$\left( 2\right) $ aussi $\left( \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma \right) =\left( a\left( b^{2}+c^{2}-a^{2}\right) :b\left( c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) :c\left( a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) \right) $
Pour $\left( 4\right) $ je suggère les multiples de $X^{4}+Y^{4}+Z^{4}-2\left( Y^{2}Z^{2}+Z^{2}Y^{2}+X^{2}Y^{2}\right) +4X^{2}Y^{2}Z^{2}$.
Amicalement. Poulbot -
C'est bon, poulbot.
J'ai mis un moment pour le (3) -
Dans le numéro de juin Delahaye appelle entier
un triangle dont les côtés sont de longueur entière.
Je dirais qu'un triangle est quasi entier s'il est semblable à un triangle entier.
L'intérêt du concept est qu'il est simple de les ajuster dans une construction,
quitte à rendre cette construction entière par une homothétie terminale.
D'où un chapelet de problèmes circonvoisins :
Existe-t-il des figures XYZ entières ? Par exemple :
Un triangle et ses hauteurs/ bissetrices/ médianes, sans ou avec leur orthocentre/ centre inscrit/ barycentre.
Sans oublier les conjuguées isogonales de ces figures.
Quand est-ce qu'un triangle entier, un point p et les céviennes correspondantes forment-ils une figure entière ?
Etc, etc...
N'oublions pas l'histoire des cosinus :
Un triangle est quasi entier si, et seulement si les cosinus de ses angles sont rationnels. -
Pour commencer, voici un quadrangle orthocentrique rationnel.
Le rendre entier n'apporte pas grand-chose.
Tous les angles sont pythagoriciens, càd. que leurs sinus et leur cosinus sont rationnels. -
Un triangle avec ses bissectrices.
-
Autre source de configurations entières : le th. de Descartes.
Infra = Le rayon du grand cercle est 621
|op| $=2277/8$
|oq| $=2691/14$
|or| $=3519/56$
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