Aire d'un quadrilatère par les coordonnées

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Géométrie
Bonjour,

J'aimerais avoir votre avis sur le raisonnement suivant.
Pour déterminer la formule donnant l'aire algébrique d'un quadrilatère (convexe) $M_1M_2M_3M_4$ connu par ses coordonnées, je pose $A(x_1, y_1, …, x_4, y_4)$ le polynôme homogène de degré 2 exprimant l'aire.
Si l'aire est nulle, alors les vecteurs $M_1M_3$ et $M_2M_4$ sont colinéaires et donc
$(x_4 - x_2)(y_1 - y_3) - (y_4 - y_2)(x_1 - x_3) = 0$.
J'en déduis que $A(x_1, y_1, …, x_4, y_4) = k[(x_4 - x_2)(y_1 - y_3) - (y_4 - y_2)(x_1 - x_3)]$, puis je montre sur un cas particulier que $k = 1/2$.

A+
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • soland
    soland
    > " A(x1,y1,…,x4,y4) le polynôme... "

    Pourquoi serait-ce un polynôme ?
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Parce que l'on peut décomposer l'aire en somme d'aires de triangles, rectangles ou trapèzes ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Il n'y pas besoin qu'un quadrilatère soit convexe pour définir son aire algébrique.
    Un quadrilatère dont l'aire algébrique est nulle n'a pas nécessairement ses sommets alignés.
    Il vaut mieux parler de l'aire algébrique d'un quadruplet de points plutôt que d'aire d'un quadrilatère.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    A propos d'aire algébrique, où en voit-on l'utilité hors du calcul d'intégrales ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Une bonne partie des problèmes que j'ai proposés sur ce forum faisaient référence à la notion d'aire algébrique!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE,

    En fait il y a plus simple pour établir que $2A = |(x_4 - x_2)(y_1 - y_3) - (y_4 - y_2)(x_1 - x_3)|$.
    _
    Il suffit de partir de la formule (facile à prouver) $2A = Diag_1.Diag_2.sin(Diag_1, Diag_2)$, qui stipule que le double de l'aire géométrique est le module du produit vectoriel des vecteurs diagonaux, donc la valeur absolue de leur déterminant.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Tu m'as tout l'air de confondre l'aire géométrique donnée par la mesure de Lebesgue et qui est toujours positive ou nulle avec l'aire algébrique qui peut prendre des valeurs négatives.
    Je te propose l'exercice suivant que j'ai plusieurs fois donné dans le passé ici même sous sa forme générale et que je donne ici sous sa forme euclidienne pour ne pas traumatiser ceux qui ne connaissent de la géométrie que les axiomes de Thalès et de Pythagore c'est à dire l'immense majorité!
    Le triangle $ABC$ est un triangle équilatéral et $P$ est un point quelconque de son cercle circonscrit.
    Le triangle $A'B'C'$ est le triangle cévien de $P$.
    Calculer l'aire algébrique du triplet $A'B'C'$ notée $S(A',B',C')$.
    Cette notation suggère fortement que cette aire algébrique dépend de l'ordre des points $A'$, $B'$, $C'$.
    Par exemple on sait (ou plus exactement on savait) que: $S(B',A',C')=-S(A',B',C')$.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus87430
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Voici la même figure où j'ai rajouté des incidences supplémentaires.
    Quant à calculer l'aire algébrique $S(A',B',C')$, il ne suffit pas d'ânonner la définition de l'aire algébrique.
    Il faut l'utiliser avec toute la théorie qui l'accompagne!
    Je n'ai pas essayé la Rescassolisation mais elle devrait particulièrement bien fonctionner dans ce cas de figure,( tout cela pour dire qu'on a pas vraiment besoin d'Elle!).
    Amicalement
    [small]p[/small]appus87432
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Et comme je suis bon prince, je vous rajoute quelques incidences, trisections et autres parallélismes supplémentaires!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus87436
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